Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x))$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 8 \sec (x) \sec (x) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Этап 3.2

Умножим $8 \sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int 8 (\sec^{1} (x) \sec (x)) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Этап 3.2.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int 8 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Этап 3.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 8 {\sec (x)}^{1 + 1} + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Этап 3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 8 \sec^{2} (x) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Этап 3.3

Умножим $- 4$ на $8$ .

$\int 8 \sec^{2} (x) - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 \sec^{2} (x) d x + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 5

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$8 (\tan (x) + C) + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 7

Поскольку $- 32$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 32$ из-под знака интеграла.

$8 (\tan (x) + C) - 32 \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 8

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$8 (\tan (x) + C) - 32 (\sec (x) + C)$

Этап 9

Упростим.

$8 \tan (x) - 32 \sec (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x))$ .

$F (x) =$ $8 \tan (x) - 32 \sec (x) + C$