Математический анализ Примеры

$f (x) = | x |$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int | x | d x$

Этап 3

Приравняем аргумент модуля к $0$ , чтобы найти возможные значения, на которые разобьется решение.

$x = 0$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интервалы вокруг решений, чтобы узнать, где $x$ принимает положительные и отрицательные значения.

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

Этап 4.2

Подставим значение на каждом интервале в $x$ , чтобы определить знак выражения на каждом из них.

$\begin{array}{c} Интервал & Знак на интервале \\ (- \infty, 0) & - \\ (0, \infty) & + \end{array}$

Этап 4.3

Проинтегрируем аргумент модуля.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Составим интеграл с аргументом модуля.

$\int x d x$

Этап 4.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 4.4

На интервалах, где аргумент отрицателен, умножим значение интеграла на $- 1$ .

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

Этап 4.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

Этап 4.6

Упростим.

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} & x \leq 0 \\ \frac{x^{2}}{2} & x > 0 \end{cases} + C$

Этап 4.7

Упростим.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$

Этап 5

Ответ ― первообразная функции $f (x) = | x |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$