Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{5} - \frac{8}{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{5} - \frac{8}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{5} d x + \int - \frac{8}{x} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} x + C + \int - \frac{8}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x + C - \int \frac{8}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x + C - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 7

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} x + C - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{5} x + C - 8 (\ln (| x |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{5} x - 8 \ln (| x |) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{5} - \frac{8}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x - 8 \ln (| x |) + C$