Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x)$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{4}} d x$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (3 x^{2} - x + 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{- 2} d x$

Этап 5

Развернем $(3 x^{2} - x + 6) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 x^{2} - x) x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 x^{2} x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x^{2 - 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int 3 x^{0} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\int 3 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.7

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int 3 - (x \cdot x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 3 - (x^{1} x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 - x^{1 - 2} + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.10

Вычтем $2$ из $1$ .

$\int 3 - x^{- 1} + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.11

Изменим порядок $3$ и $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + 3 + 6 x^{- 2} d x$

Этап 5.12

Перенесем $3$ .

$\int - x^{- 1} + 6 x^{- 2} + 3 d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 8

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 9

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Этап 12

Упростим.

$- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$