Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 3]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Этап 3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

Этап 3.1.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 10 x$ .

$3 x^{2} + 10 x$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(0, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(0, 3)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(0, 3)$ , поскольку производная является непрерывной на $(0, 3)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[0, 3]$ , дифференцируемое в области $(0, 3)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 3]$ , дифференцируемое в области $(0, 3)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[0, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Этап 7.2.1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[0, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

Этап 8.2.1.3

Умножим $5$ на $9$ .

$f (3) = 27 + 45$

Этап 8.2.2

Добавим $27$ и $45$ .

$f (3) = 72$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $72$ .

$72$

Этап 9

Решим $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

Этап 9.1.1.2

Добавим $72$ и $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

Этап 9.1.2.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

Этап 9.1.3

Разделим $72$ на $3$ .

$3 x^{2} + 10 x = 24$

Этап 9.2

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Этап 9.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 9.4

Подставим значения $a = 3$ , $b = 10$ и $c = - 24$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.5.1.3

Добавим $100$ и $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.5.1.4

Перепишем $388$ в виде $2^{2} \cdot 97$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Этап 9.5.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.6.1.3

Добавим $100$ и $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.6.1.4

Перепишем $388$ в виде $2^{2} \cdot 97$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Этап 9.6.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.6.5

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

Этап 9.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

Этап 9.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.7.1.3

Добавим $100$ и $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.7.1.4

Перепишем $388$ в виде $2^{2} \cdot 97$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Этап 9.7.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.7.5

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

Этап 9.7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

Этап 9.7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Этап 9.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 3$ , находится в точке $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ .

Касательная в точке $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 3$ .

Этап 11

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 3$ , находится в точке $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ .

Касательная в точке $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 3$ .

Этап 12