Математический анализ Примеры

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[2, 5]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[2, 5]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x (x - 1) d x)$

Этап 5

Умножим $x (x - 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

Этап 6.2

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

Этап 6.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

Этап 6.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - x d x)$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} - x d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} - x d x)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - \int_{2}^{5} x d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $5$ и в $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}) - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.5

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.8

Вычтем $8$ из $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9

Сократим общий множитель $117$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $117$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9.2.4

Разделим $39$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10

Возведем $5$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}))$

Этап 11.2.3.12

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}))$

Этап 11.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}))$

Этап 11.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}))$

Этап 11.2.3.12.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2))$

Этап 11.2.3.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2))$

Этап 11.2.3.14

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 11.2.3.15

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}))$

Этап 11.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 2 \cdot 2}{2})$

Этап 11.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.17.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 4}{2})$

Этап 11.2.3.17.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{21}{2})$

Этап 11.2.3.18

Чтобы записать $39$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2})$

Этап 11.2.3.19

Объединим $39$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2})$

Этап 11.2.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2 - 21}{2})$

Этап 11.2.3.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.21.1

Умножим $39$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{78 - 21}{2})$

Этап 11.2.3.21.2

Вычтем $21$ из $78$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{57}{2})$

Этап 12

Вычтем $2$ из $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{57}{2}$

Этап 13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $3$ из $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (19)}{2}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 19}{2}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{19}{2}$

Этап 14