Математический анализ Примеры

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Этап 6

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\sin (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $- \frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

Этап 7.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

Этап 7.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 7.3.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

Этап 7.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Этап 7.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Этап 7.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

Этап 7.3.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

Этап 8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

Этап 8.2

Перепишем $\frac{π + π}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $π$ и $π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Этап 8.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим выражение $\frac{2 π}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Этап 8.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

Этап 8.2.2.2

Разделим $π$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{π}$ и $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Этап 10