Математический анализ Примеры

$y = x^{3} e^{2 x}$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} e^{2 x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} e^{2 x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

$f' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f' (x) = x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$f' (x) = x^{3} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (3 x^{2})$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 e^{2 x} x^{3} + 3 e^{2 x} x^{2}$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{2 x} x^{3} + 3 e^{2 x} x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{3} e^{2 x} + 3 x^{2} e^{2 x}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x^{3} e^{2 x} + 3 x^{2} e^{2 x}$ .

$2 x^{3} e^{2 x} + 3 x^{2} e^{2 x}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x^{3} e^{2 x} + 3 x^{2} e^{2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x^{3} e^{2 x} + 3 x^{2} e^{2 x} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x^{2} e^{2 x}$ из $2 x^{3} e^{2 x} + 3 x^{2} e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x^{2} e^{2 x}$ из $2 x^{3} e^{2 x}$ .

$x^{2} e^{2 x} (2 x) + 3 x^{2} e^{2 x} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x^{2} e^{2 x}$ из $3 x^{2} e^{2 x}$ .

$x^{2} e^{2 x} (2 x) + x^{2} e^{2 x} (3) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x^{2} e^{2 x}$ из $x^{2} e^{2 x} (2 x) + x^{2} e^{2 x} (3)$ .

$x^{2} e^{2 x} (2 x + 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{2 x} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $e^{2 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $e^{2 x}$ к $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Этап 3.5.2

Решим $e^{2 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Этап 3.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.5.2.3

Нет решения для $e^{2 x} = 0$

Нет решения

Этап 3.6

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} e^{2 x} (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - \frac{3}{2}$ .

$0, - \frac{3}{2}$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{3}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 2 {(- 2.5)}^{3} e^{2 (- 2.5)} + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2.5$ в степень $3$ .

$f' (- 2.5) = 2 \cdot (- 15.625 e^{2 (- 2.5)}) + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $- 15.625$ .

$f' (- 2.5) = - 31.25 e^{2 (- 2.5)} + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $2$ на $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = - 31.25 e^{- 5} + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2.5) = - 31.25 \frac{1}{e^{5}} + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.5

Объединим $- 31.25$ и $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (- 2.5) = \frac{- 31.25}{e^{5}} + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2.5) = - \frac{31.25}{e^{5}} + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.7

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 2.5) = - \frac{31.25}{{2.71828182}^{5}} + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.8

Возведем $2.71828182$ в степень $5$ .

$f' (- 2.5) = - \frac{31.25}{148.4131591} + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.9

Разделим $31.25$ на $148.4131591$ .

$f' (- 2.5) = - 1 \cdot 0.21056084 + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.10

Умножим $- 1$ на $0.21056084$ .

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + 3 {(- 2.5)}^{2} e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.11

Возведем $- 2.5$ в степень $2$ .

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + 3 \cdot (6.25 e^{2 (- 2.5)})$

Этап 6.2.1.12

Умножим $3$ на $6.25$ .

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + 18.75 e^{2 (- 2.5)}$

Этап 6.2.1.13

Умножим $2$ на $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + 18.75 e^{- 5}$

Этап 6.2.1.14

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + 18.75 (\frac{1}{e^{5}})$

Этап 6.2.1.15

Объединим $18.75$ и $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + \frac{18.75}{e^{5}}$

Этап 6.2.1.16

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + \frac{18.75}{{2.71828182}^{5}}$

Этап 6.2.1.17

Возведем $2.71828182$ в степень $5$ .

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + \frac{18.75}{148.4131591}$

Этап 6.2.1.18

Разделим $18.75$ на $148.4131591$ .

$f' (- 2.5) = - 0.21056084 + 0.1263365$

Этап 6.2.2

Добавим $- 0.21056084$ и $0.1263365$ .

$f' (- 2.5) = - 0.08422433$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.08422433$ .

$- 0.08422433$

Этап 6.3

При $x = - 2.5$ производная имеет вид $- 0.08422433$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{3}{2})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1.5, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = 2 {(- 0.75)}^{3} e^{2 (- 0.75)} + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 0.75$ в степень $3$ .

$f' (- 0.75) = 2 \cdot (- 0.421875 e^{2 (- 0.75)}) + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $2$ на $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 0.84375 e^{2 (- 0.75)} + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $2$ на $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = - 0.84375 e^{- 1.5} + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.75) = - 0.84375 \frac{1}{e^{1.5}} + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.5

Объединим $- 0.84375$ и $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 0.75) = \frac{- 0.84375}{e^{1.5}} + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 0.75) = - \frac{0.84375}{e^{1.5}} + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.7

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 0.75) = - \frac{0.84375}{{2.71828182}^{1.5}} + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.8

Возведем $2.71828182$ в степень $1.5$ .

$f' (- 0.75) = - \frac{0.84375}{4.48168907} + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.9

Разделим $0.84375$ на $4.48168907$ .

$f' (- 0.75) = - 1 \cdot 0.18826607 + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.10

Умножим $- 1$ на $0.18826607$ .

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + 3 {(- 0.75)}^{2} e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.11

Возведем $- 0.75$ в степень $2$ .

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + 3 \cdot (0.5625 e^{2 (- 0.75)})$

Этап 7.2.1.12

Умножим $3$ на $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + 1.6875 e^{2 (- 0.75)}$

Этап 7.2.1.13

Умножим $2$ на $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + 1.6875 e^{- 1.5}$

Этап 7.2.1.14

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + 1.6875 (\frac{1}{e^{1.5}})$

Этап 7.2.1.15

Объединим $1.6875$ и $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + \frac{1.6875}{e^{1.5}}$

Этап 7.2.1.16

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + \frac{1.6875}{{2.71828182}^{1.5}}$

Этап 7.2.1.17

Возведем $2.71828182$ в степень $1.5$ .

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + \frac{1.6875}{4.48168907}$

Этап 7.2.1.18

Разделим $1.6875$ на $4.48168907$ .

$f' (- 0.75) = - 0.18826607 + 0.37653214$

Этап 7.2.2

Добавим $- 0.18826607$ и $0.37653214$ .

$f' (- 0.75) = 0.18826607$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.18826607$ .

$0.18826607$

Этап 7.3

При $x = - 0.75$ производная имеет вид $0.18826607$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1.5, 0)$ .

Возрастание в области $(- \frac{3}{2}, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 2 {(1)}^{3} e^{2 (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{2 (1)}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{2 (1)}) + 3 {(1)}^{2} e^{2 (1)}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = 2 e^{2 (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{2 (1)}$

Этап 8.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = 2 e^{2} + 3 {(1)}^{2} e^{2 (1)}$

Этап 8.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 2 e^{2} + 3 \cdot (1 e^{2 (1)})$

Этап 8.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = 2 e^{2} + 3 e^{2 (1)}$

Этап 8.2.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = 2 e^{2} + 3 e^{2}$

Этап 8.2.2

Добавим $2 e^{2}$ и $3 e^{2}$ .

$f' (1) = 5 e^{2}$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $5 e^{2}$ .

$5 e^{2}$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $5 e^{2}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - \frac{3}{2})$

Этап 10