Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x} - x$ , $- 2 \leq x \leq 2$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $e^{x} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 1$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{x} - 1$ .

$e^{x} - 1$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{x} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 1$

Этап 1.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Этап 1.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Этап 1.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Этап 1.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (1)$

Этап 1.2.5

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $e^{x} - x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$e^{0} - (0)$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - (0)$

Этап 1.4.1.2.2

Вычтем $0$ из $1$ .

$1$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, 1)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$e^{- 2} - (- 2)$

Этап 2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - (- 2)$

Этап 2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + 2$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$e^{2} - (2)$

Этап 2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{2} - 2$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 2, \frac{1}{e^{2}} + 2), (2, e^{2} - 2)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(2, e^{2} - 2)$

Абсолютный минимум: $(0, 1)$

Этап 4