Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 4$ , $y = 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 4 = 2$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - 4 = 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2 + 4$

Этап 1.2.1.2

Добавим $2$ и $4$ .

$x^{2} = 6$

Этап 1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{6}$

Этап 1.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{6}$

Этап 1.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{6}$

Этап 1.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 1.3

Подставим $\sqrt{6}$ вместо $x$ .

$y = 2$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 d x - \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} - 4 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- \sqrt{6}$ и $\sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - (x^{2} - 4) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 - x^{2} - - 4$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$2 - x^{2} + 4$

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - x^{2} + 4 d x$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} + 6 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Этап 3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $\sqrt{6}$ и в $- \sqrt{6}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

Этап 3.9.1.2

Найдем значение $6 x$ в $\sqrt{6}$ и в $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{3}$ в виде $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{6}))}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.4

Применим правило умножения к $- (\sqrt{6})$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{3}$ в виде $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{6^{3}}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.7

Возведем $6$ в степень $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - - \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + 1 \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.10

Умножим $\frac{\sqrt{216}}{3}$ на $1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{216} + \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.12

Добавим $\sqrt{216}$ и $\sqrt{216}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Этап 3.9.1.3.13

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}$

Этап 3.9.1.3.14

Добавим $6 \sqrt{6}$ и $6 \sqrt{6}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$- \frac{2 \sqrt{36 (6)}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.1.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{2 (6 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.3

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{12 \sqrt{6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.4

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $12 \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 (1)} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 \sqrt{6}}{1} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.4.2.4

Разделим $4 \sqrt{6}$ на $1$ .

$- (4 \sqrt{6}) + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \sqrt{6} + 12 \sqrt{6}$

Этап 3.9.2.6

Добавим $- 4 \sqrt{6}$ и $12 \sqrt{6}$ .

$8 \sqrt{6}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$8 \sqrt{6}$

Десятичная форма:

$19.59591794 \dots$

Этап 5