Математический анализ Примеры

$y = 6 x + x^{2} - x^{3}$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$6 x + x^{2} - x^{3} = 0$

Этап 1.2

Решим $6 x + x^{2} - x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$6 u + u^{2} - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $u$ из $6 u + u^{2} - u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $6 u$ .

$u \cdot 6 + u^{2} - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot 6 + u \cdot u - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{3}$ .

$u \cdot 6 + u \cdot u + u (- u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 6 + u \cdot u$ .

$u \cdot (6 + u) + u (- u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.2.5

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot (6 + u) + u (- u^{2})$ .

$u (6 + u - u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.1

Изменим порядок членов.

$u (- u^{2} + u + 6) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$u (- u^{2} + 1 u + 6) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.2.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$u (- u^{2} + (- 2 + 3) u + 6) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u (- u^{2} - 2 u + 3 u + 6) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$u ((- u^{2} - 2 u) + 3 u + 6) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (u (- u - 2) - 3 (- u - 2)) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 2$ .

$u ((- u - 2) (u - 3)) = 0$

Этап 1.2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$u (- u - 2) (u - 3) = 0$

Этап 1.2.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (- x - 2) (x - 3) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$- x - 2 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $- x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $- x - 2$ к $0$ .

$- x - 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $- x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- x = 2$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x = - 2$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (- x - 2) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 3$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

$(3, 0)$

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

$(3, 0)$

Этап 2

Упростим $6 x + x^{2} - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $6 x$ .

$y = x^{2} - x^{3} + 6 x$

Этап 2.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + x^{2} + 6 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{0} 0 d x - \int_{- 2}^{0} - x^{3} + x^{2} + 6 x d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{0} 0 - (- x^{3} + x^{2} + 6 x) d x$

Этап 4.2

Вычтем $- x^{3} + x^{2} + 6 x$ из $0$ .

$\int_{- 2}^{0} - (- x^{3} + x^{2} + 6 x) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - x^{2} - (6 x) d x$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{3} - x^{2} - (6 x)$

Этап 4.4.1.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} - x^{2} - (6 x)$

Этап 4.4.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$x^{3} - x^{2} - 6 x$

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - x^{2} - 6 x d x$

Этап 4.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} - 6 x d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} - 6 x d x$

Этап 4.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} - 6 x d x$

Этап 4.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} - 6 x d x$

Этап 4.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} - 6 x d x$

Этап 4.10

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) - 6 \int_{- 2}^{0} x d x$

Этап 4.11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 4.12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 4.12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $0$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 4.12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 4.12.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.3

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 16 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.4

Умножим $16$ на $- 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{4}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.5

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 16}{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.6

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 4}{1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.6.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.7

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 4 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- 4 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 4 - (0 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.10

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 4 - (0 - \frac{- 8}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 - (0 - - \frac{8}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 - (0 + 1 (\frac{8}{3})) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.13

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- 4 - (0 + \frac{8}{3}) - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.14

Добавим $0$ и $\frac{8}{3}$ .

$- 4 - \frac{8}{3} - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.15

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.16

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 8}{3} - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.18.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{- 12 - 8}{3} - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.18.2

Вычтем $8$ из $- 12$ .

$\frac{- 20}{3} - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20}{3} - 6 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.20

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.21

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.21.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.21.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.21.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{20}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.21.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{20}{3} - 6 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.21.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.22

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (0 - \frac{4}{2})$

Этап 4.12.2.4.23

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.23.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 4.12.2.4.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 4.12.2.4.23.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{20}{3} - 6 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 4.12.2.4.23.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{20}{3} - 6 (0 - \frac{2}{1})$

Этап 4.12.2.4.23.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (0 - 1 \cdot 2)$

Этап 4.12.2.4.24

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{20}{3} - 6 (0 - 2)$

Этап 4.12.2.4.25

Вычтем $2$ из $0$ .

$- \frac{20}{3} - 6 \cdot - 2$

Этап 4.12.2.4.26

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$- \frac{20}{3} + 12$

Этап 4.12.2.4.27

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.12.2.4.28

Объединим $12$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Этап 4.12.2.4.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 + 12 \cdot 3}{3}$

Этап 4.12.2.4.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.30.1

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{- 20 + 36}{3}$

Этап 4.12.2.4.30.2

Добавим $- 20$ и $36$ .

$\frac{16}{3}$

Этап 5

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{3} + x^{2} + 6 x d x - \int_{0}^{3} 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{3} - x^{3} + x^{2} + 6 x - (0) d x$

Этап 6.2

Вычтем $0$ из $- x^{3} + x^{2} + 6 x$ .

$\int_{0}^{3} - x^{3} + x^{2} + 6 x d x$

Этап 6.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} - x^{3} d x + \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Этап 6.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Этап 6.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Этап 6.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Этап 6.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Этап 6.8

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} + 6 \int_{0}^{3} x d x$

Этап 6.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.10.2.2

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0) + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.5

Добавим $\frac{81}{4}$ и $0$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.8

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} + \frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.8.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} + 9 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{81}{4} + 9 - \frac{1}{3} \cdot 0 + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.10

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- \frac{81}{4} + 9 + 0 (\frac{1}{3}) + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.11

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{81}{4} + 9 + 0 + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.12

Добавим $9$ и $0$ .

$- \frac{81}{4} + 9 + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.13

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.14

Объединим $9$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 81 + 9 \cdot 4}{4} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.16.1

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{- 81 + 36}{4} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.16.2

Добавим $- 81$ и $36$ .

$\frac{- 45}{4} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{45}{4} + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.18

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.10.2.4.19

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 6.10.2.4.20

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 6.10.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.10.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.10.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 6.10.2.4.20.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2} - 0)$

Этап 6.10.2.4.21

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2} + 0)$

Этап 6.10.2.4.22

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$- \frac{45}{4} + 6 (\frac{9}{2})$

Этап 6.10.2.4.23

Объединим $6$ и $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{45}{4} + \frac{6 \cdot 9}{2}$

Этап 6.10.2.4.24

Умножим $6$ на $9$ .

$- \frac{45}{4} + \frac{54}{2}$

Этап 6.10.2.4.25

Сократим общий множитель $54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.25.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$- \frac{45}{4} + \frac{2 \cdot 27}{2}$

Этап 6.10.2.4.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.25.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{45}{4} + \frac{2 \cdot 27}{2 (1)}$

Этап 6.10.2.4.25.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{45}{4} + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 1}$

Этап 6.10.2.4.25.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{45}{4} + \frac{27}{1}$

Этап 6.10.2.4.25.2.4

Разделим $27$ на $1$ .

$- \frac{45}{4} + 27$

Этап 6.10.2.4.26

Чтобы записать $27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.10.2.4.27

Объединим $27$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

Этап 6.10.2.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 45 + 27 \cdot 4}{4}$

Этап 6.10.2.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.4.29.1

Умножим $27$ на $4$ .

$\frac{- 45 + 108}{4}$

Этап 6.10.2.4.29.2

Добавим $- 45$ и $108$ .

$\frac{63}{4}$

Этап 7

Сложим площади $\frac{16}{3} + \frac{63}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $\frac{16}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{16}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{63}{4}$

Этап 7.2

Чтобы записать $\frac{63}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{63}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{16}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{16 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{63}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{16 \cdot 4}{12} + \frac{63}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3.3

Умножим $\frac{63}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 4}{12} + \frac{63 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 7.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{12} + \frac{63 \cdot 3}{12}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 \cdot 4 + 63 \cdot 3}{12}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $16$ на $4$ .

$\frac{64 + 63 \cdot 3}{12}$

Этап 7.5.2

Умножим $63$ на $3$ .

$\frac{64 + 189}{12}$

Этап 7.5.3

Добавим $64$ и $189$ .

$\frac{253}{12}$

Этап 8