Математический анализ Примеры

$x = y^{2}$ , $x - y = 30$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $x$ на $y^{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $x - y = 30$ на $y^{2}$ .

$(y^{2}) - y = 30$

$x = y^{2}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Избавимся от скобок.

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ в $y^{2} - y = 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - 30 = 0$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.2

Разложим $y^{2} - y - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $- 1$ .

$- 6, 5$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 6) (y + 5) = 0$

$x = y^{2}$

$(y - 6) (y + 5) = 0$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 5 = 0$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.4

Приравняем $y - 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $y - 6$ к $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 6$

$x = y^{2}$

$y = 6$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.5

Приравняем $y + 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $y + 5$ к $0$ .

$y + 5 = 0$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y = - 5$

$x = y^{2}$

$y = - 5$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 6) (y + 5) = 0$ верно.

$y = 6, - 5$

$x = y^{2}$

$y = 6, - 5$

$x = y^{2}$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $y$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{2}$ на $6$ .

$x = {(6)}^{2}$

$y = 6$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = 36$

$y = 6$

$x = 36$

$y = 6$

$x = 36$

$y = 6$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $y$ на $- 5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{2}$ на $- 5$ .

$x = {(- 5)}^{2}$

$y = - 5$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = 25$

$y = - 5$

$x = 25$

$y = - 5$

$x = 25$

$y = - 5$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(36, 6)$

$(25, - 5)$

$(36, 6)$

$(25, - 5)$

Этап 2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x = 30 + y$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 5}^{6} 30 + y d y - \int_{- 5}^{6} y^{2} d y$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 5$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 5}^{6} 30 + y - (y^{2}) d y$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $y^{2}$ .

$\int_{- 5}^{6} 30 + y - y^{2} d y$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 5}^{6} 30 d y + \int_{- 5}^{6} y d y + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Этап 4.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$30 y]_{- 5}^{6} + \int_{- 5}^{6} y d y + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Этап 4.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - \int_{- 5}^{6} y^{2} d y$

Этап 4.7

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 5}^{6})$

Этап 4.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Объединим $30 y]_{- 5}^{6}$ и $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6}$ .

$30 y + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 5}^{6})$

Этап 4.8.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$30 y + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 5}^{6})$

Этап 4.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Найдем значение $30 y + \frac{1}{2} y^{2}$ в $6$ и в $- 5$ .

$(30 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 5}^{6})$

Этап 4.8.2.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $6$ и в $- 5$ .

$(30 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.1

Умножим $30$ на $6$ .

$180 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$180 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $36$ .

$180 + \frac{36}{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.4

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$180 + \frac{18}{1} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.4.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$180 + 18 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.5

Добавим $180$ и $18$ .

$198 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.6

Умножим $30$ на $- 5$ .

$198 - (- 150 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.7

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$198 - (- 150 + \frac{1}{2} \cdot 25) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $25$ .

$198 - (- 150 + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.9

Чтобы записать $- 150$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$198 - (- 150 \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.10

Объединим $- 150$ и $\frac{2}{2}$ .

$198 - (\frac{- 150 \cdot 2}{2} + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$198 - \frac{- 150 \cdot 2 + 25}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.12.1

Умножим $- 150$ на $2$ .

$198 - \frac{- 300 + 25}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.12.2

Добавим $- 300$ и $25$ .

$198 - \frac{- 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$198 - - \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$198 + 1 (\frac{275}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.15

Умножим $\frac{275}{2}$ на $1$ .

$198 + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.16

Чтобы записать $198$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$198 \cdot \frac{2}{2} + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.17

Объединим $198$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{198 \cdot 2}{2} + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{198 \cdot 2 + 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.19.1

Умножим $198$ на $2$ .

$\frac{396 + 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.19.2

Добавим $396$ и $275$ .

$\frac{671}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.20

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.21

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.21.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{671}{2} - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.21.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$\frac{671}{2} - (72 - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.8.2.3.22

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$\frac{671}{2} - (72 - \frac{- 125}{3})$

Этап 4.8.2.3.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{671}{2} - (72 - - \frac{125}{3})$

Этап 4.8.2.3.24

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{671}{2} - (72 + 1 (\frac{125}{3}))$

Этап 4.8.2.3.25

Умножим $\frac{125}{3}$ на $1$ .

$\frac{671}{2} - (72 + \frac{125}{3})$

Этап 4.8.2.3.26

Чтобы записать $72$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{125}{3})$

Этап 4.8.2.3.27

Объединим $72$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{125}{3})$

Этап 4.8.2.3.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{671}{2} - \frac{72 \cdot 3 + 125}{3}$

Этап 4.8.2.3.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.29.1

Умножим $72$ на $3$ .

$\frac{671}{2} - \frac{216 + 125}{3}$

Этап 4.8.2.3.29.2

Добавим $216$ и $125$ .

$\frac{671}{2} - \frac{341}{3}$

Этап 4.8.2.3.30

Чтобы записать $\frac{671}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{341}{3}$

Этап 4.8.2.3.31

Чтобы записать $- \frac{341}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{671}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.8.2.3.32

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.32.1

Умножим $\frac{671}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.8.2.3.32.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.8.2.3.32.3

Умножим $\frac{341}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 4.8.2.3.32.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341 \cdot 2}{6}$

Этап 4.8.2.3.33

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{671 \cdot 3 - 341 \cdot 2}{6}$

Этап 4.8.2.3.34

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.34.1

Умножим $671$ на $3$ .

$\frac{2013 - 341 \cdot 2}{6}$

Этап 4.8.2.3.34.2

Умножим $- 341$ на $2$ .

$\frac{2013 - 682}{6}$

Этап 4.8.2.3.34.3

Вычтем $682$ из $2013$ .

$\frac{1331}{6}$

Этап 5