Математический анализ Примеры

$y^{2} - 2 x = 2$ , $x - y = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x = 3 + y$

$y^{2} - 2 x = 2$

Этап 1.2

Заменим все вхождения $x$ на $3 + y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $y^{2} - 2 x = 2$ на $3 + y$ .

$y^{2} - 2 (3 + y) = 2$

$x = 3 + y$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 2 \cdot 3 - 2 y = 2$

$x = 3 + y$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$y^{2} - 6 - 2 y = 2$

$x = 3 + y$

$y^{2} - 6 - 2 y = 2$

$x = 3 + y$

$y^{2} - 6 - 2 y = 2$

$x = 3 + y$

$y^{2} - 6 - 2 y = 2$

$x = 3 + y$

Этап 1.3

Решим относительно $y$ в $y^{2} - 6 - 2 y = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 6 - 2 y - 2 = 0$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.2

Вычтем $2$ из $- 6$ .

$y^{2} - 2 y - 8 = 0$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.3

Разложим $y^{2} - 2 y - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 4) (y + 2) = 0$

$x = 3 + y$

$(y - 4) (y + 2) = 0$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 4 = 0$

$y + 2 = 0$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.5

Приравняем $y - 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Приравняем $y - 4$ к $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4$

$x = 3 + y$

$y = 4$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.6

Приравняем $y + 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Приравняем $y + 2$ к $0$ .

$y + 2 = 0$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - 2$

$x = 3 + y$

$y = - 2$

$x = 3 + y$

Этап 1.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 4) (y + 2) = 0$ верно.

$y = 4, - 2$

$x = 3 + y$

$y = 4, - 2$

$x = 3 + y$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $y$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 3 + y$ на $4$ .

$x = 3 + 4$

$y = 4$

Этап 1.4.2

Упростим $x = 3 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 3 + 4$

$y = 4$

$x = 3 + 4$

$y = 4$

Этап 1.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Добавим $3$ и $4$ .

$x = 7$

$y = 4$

$x = 7$

$y = 4$

$x = 7$

$y = 4$

$x = 7$

$y = 4$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $y$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 3 + y$ на $- 2$ .

$x = 3 - 2$

$y = - 2$

Этап 1.5.2

Упростим $x = 3 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 3 - 2$

$y = - 2$

$x = 3 - 2$

$y = - 2$

Этап 1.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

Этап 1.6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(7, 4)$

$(1, - 2)$

$(7, 4)$

$(1, - 2)$

Этап 2

Решим $y^{2} - 2 x = 2$ , выразив через $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = 2 - y^{2}$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 2 x = 2 - y^{2}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = 2 - y^{2}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2} + \frac{- y^{2}}{- 2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2} + \frac{- y^{2}}{- 2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{- 2} + \frac{- y^{2}}{- 2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим $2$ на $- 2$ .

$x = - 1 + \frac{- y^{2}}{- 2}$

Этап 2.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = - 1 + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 3

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x = 3 + y$

Этап 4

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{4} 3 + y d y - \int_{- 2}^{4} - 1 + \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{4} 3 + y - (- 1 + \frac{y^{2}}{2}) d y$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 + y - - 1 - \frac{y^{2}}{2}$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 + y + 1 - \frac{y^{2}}{2}$

$\int_{- 2}^{4} 3 + y + 1 - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\int_{- 2}^{4} y + 4 - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} 4 d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} 4 d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 5.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + 4 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 5.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + 4 y]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 5.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + 4 y]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y)$

Этап 5.9

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + 4 y]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Этап 5.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Объединим $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4}$ и $4 y]_{- 2}^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 4 y]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Этап 5.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} y^{2} + 4 y$ в $4$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Этап 5.10.2.2

Найдем значение $\frac{1}{3} y^{3}$ в $4$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 4 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{16}{2} + 4 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.3

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 4 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 4 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 4 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{1} + 4 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.3.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$8 + 4 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.4

Умножим $4$ на $4$ .

$8 + 16 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.5

Добавим $8$ и $16$ .

$24 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.6

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$24 - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$24 - (\frac{4}{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.8

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$24 - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$24 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$24 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$24 - (\frac{2}{1} + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.8.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$24 - (2 + 4 \cdot - 2) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.9

Умножим $4$ на $- 2$ .

$24 - (2 - 8) - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.10

Вычтем $8$ из $2$ .

$24 - - 6 - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.11

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$24 + 6 - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.12

Добавим $24$ и $6$ .

$30 - \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.13

Возведем $4$ в степень $3$ .

$30 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.14

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$30 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 5.10.2.3.15

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$30 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Этап 5.10.2.3.16

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$30 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

Этап 5.10.2.3.17

Объединим $8$ и $\frac{1}{3}$ .

$30 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

Этап 5.10.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$30 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

Этап 5.10.2.3.19

Добавим $64$ и $8$ .

$30 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3}$

Этап 5.10.2.3.20

Сократим общий множитель $72$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.20.1

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$30 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

Этап 5.10.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$30 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

Этап 5.10.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$30 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

Этап 5.10.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$30 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1}$

Этап 5.10.2.3.20.2.4

Разделим $24$ на $1$ .

$30 - \frac{1}{2} \cdot 24$

Этап 5.10.2.3.21

Умножим $24$ на $- 1$ .

$30 - 24 (\frac{1}{2})$

Этап 5.10.2.3.22

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{2}$ .

$30 + \frac{- 24}{2}$

Этап 5.10.2.3.23

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.23.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 12}{2}$

Этап 5.10.2.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}$

Этап 5.10.2.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$30 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}$

Этап 5.10.2.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$30 + \frac{- 12}{1}$

Этап 5.10.2.3.23.2.4

Разделим $- 12$ на $1$ .

$30 - 12$

Этап 5.10.2.3.24

Вычтем $12$ из $30$ .

$18$

Этап 6