Математический анализ Примеры

$e^{- x} \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 1.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 1.1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 1.1.4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

Этап 1.1.4.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Разложим $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} \cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x))$ .

$e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\cos (x) - \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.3

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.6

Разделим дроби.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.5.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 2.5.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 2.5.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 2.5.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 2.5.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 2.5.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.15

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.15.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.15.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 2.5.2.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.15.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 2.5.2.15.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 2.5.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.5.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.5.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.5.2.17

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $e^{- x} \sin (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{- (\frac{π}{4})} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.2

Объединим $e^{- \frac{π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.3

Перенесем $e^{- \frac{π}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{5 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{- (\frac{5 π}{4})} \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 4.2.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4.2.2.3

Объединим $e^{- \frac{5 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.2.4

Перенесем $e^{- \frac{5 π}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{9 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{9 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{- (\frac{9 π}{4})} \sin (\frac{9 π}{4})$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.3.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $e^{- \frac{9 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.2.4

Перенесем $e^{- \frac{9 π}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{13 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{13 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{- (\frac{13 π}{4})} \sin (\frac{13 π}{4})$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.4.2.2

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 4.4.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4.4.2.4

Объединим $e^{- \frac{13 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{13 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.4.2.5

Перенесем $e^{- \frac{13 π}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{17 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{17 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{- (\frac{17 π}{4})} \sin (\frac{17 π}{4})$

Этап 4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.5.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5.2.3

Объединим $e^{- \frac{17 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{17 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5.2.4

Перенесем $e^{- \frac{17 π}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}}$

Этап 4.6

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}), (\frac{5 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}), (\frac{9 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}), (\frac{13 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}), (\frac{17 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}})$

Этап 5