Математический анализ Примеры

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7}{x^{2}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.3.10

Умножим $- 2$ на $7$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Этап 1.1.1.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 1.1.1.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 1.1.1.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 1.1.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Этап 1.1.1.4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Этап 1.1.1.4.4.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Этап 1.1.1.4.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Этап 1.1.1.4.6

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Этап 1.1.1.4.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Этап 1.1.1.4.6.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Этап 1.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Этап 1.1.1.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Этап 1.1.1.5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.4.1

Вычтем $\frac{1}{x^{2}}$ из $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.2

Объединим $- 14$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.3.2

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.2.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{14}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.3.2

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.3.8

Умножим $- 3$ на $- 14$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Этап 1.1.2.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 1.1.2.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Этап 1.1.2.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Этап 1.1.2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Этап 1.1.2.4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Этап 1.1.2.4.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Этап 1.1.2.4.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Этап 1.1.2.4.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Этап 1.1.2.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Этап 1.1.2.4.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

Этап 1.1.2.4.8

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Этап 1.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Этап 1.1.2.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

Этап 1.1.2.5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 1.1.2.5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 1.1.2.5.4.2

Объединим $42$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 1.1.2.5.4.3

Объединим $12$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

Этап 1.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

Этап 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

Этап 1.2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.2.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.2.2.6

Множители $x^{3}$ — $x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $3$ раз.

Этап 1.2.2.7

Множители $x^{4}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $4$ раз.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $4$ раз.

Этап 1.2.2.8

Множители $x^{5}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $5$ раз.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $5$ раз.

Этап 1.2.2.9

НОК $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 1.2.2.10

Упростим $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 1.2.2.10.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Этап 1.2.2.10.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Этап 1.2.2.10.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Этап 1.2.2.10.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Этап 1.2.2.10.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Этап 1.2.2.10.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Этап 1.2.2.10.4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.4.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Этап 1.2.2.10.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4 + 1}$

Этап 1.2.2.10.4.2

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{5}$

Этап 1.2.3

Каждый член в $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ умножим на $x^{5}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ на $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{5}$ .

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

Этап 1.2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 42 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $42 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

Этап 1.2.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Этап 1.2.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (21 x)$ .

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ .

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

Этап 1.2.4.2

Разделим каждый член $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разделим каждый член $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.4.2.2.1.2

Разделим $x^{2} + 21 x + 6$ на $1$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

Этап 1.2.4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 21$ и $c = 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.1

Возведем $21$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.3

Вычтем $24$ из $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.1.1

Возведем $21$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.6.1.3

Вычтем $24$ из $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.6.4

Перепишем $- 21$ в виде $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

Этап 1.2.4.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

Этап 1.2.4.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1.1

Возведем $21$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.7.1.3

Вычтем $24$ из $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.7.4

Перепишем $- 21$ в виде $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

Этап 1.2.4.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

Этап 1.2.4.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Этап 1.2.4.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.2

Зададим знаменатель в $\frac{7}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.5.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 23$ в степень $3$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 23$ в степень $4$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Этап 4.2.1.3

Возведем $- 23$ в степень $5$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $\frac{2}{- 12167}$ на $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Этап 4.2.1.5

Умножим $\frac{2}{- 12167}$ на $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $\frac{42}{279841}$ на $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

Этап 4.2.1.7

Умножим $\frac{42}{279841}$ на $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

Этап 4.2.1.8

Умножим $\frac{12}{- 6436343}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.1.9

Умножим $\frac{12}{- 6436343}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Этап 4.2.1.10

Умножим $- 12167$ на $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Этап 4.2.1.11

Изменим порядок множителей в $279841 \cdot 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Этап 4.2.1.12

Умножим $23$ на $279841$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Этап 4.2.1.13

Умножим $- 6436343$ на $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $2$ на $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $42$ на $23$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Этап 4.2.3.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 1058$ и $966$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $12$ из $- 92$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

Этап 4.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{104}{6436343}$ .

$- \frac{104}{6436343}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ , поскольку $f'' (- 23)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $\frac{2}{- 27}$ на $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Этап 5.2.1.5

Умножим $\frac{2}{- 27}$ на $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $\frac{42}{81}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

Этап 5.2.1.7

Умножим $\frac{42}{81}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

Этап 5.2.1.8

Умножим $\frac{12}{- 243}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.2.1.9

Умножим $\frac{12}{- 243}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Этап 5.2.1.10

Умножим $- 27$ на $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Этап 5.2.1.11

Изменим порядок множителей в $81 \cdot 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Этап 5.2.1.12

Умножим $3$ на $81$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Этап 5.2.1.13

Умножим $- 243$ на $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $42$ на $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

Этап 5.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 18$ и $126$ .

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $12$ из $108$ .

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $96$ и $243$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $96$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

Этап 5.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $243$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Этап 5.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Этап 5.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{32}{81}$ .

$\frac{32}{81}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ , поскольку $f'' (- 3)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.14$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.14$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $2$ на $- 0.002744$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 0.14$ в степень $4$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Этап 6.2.1.4

Разделим $42$ на $0.00038416$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $- 0.14$ в степень $5$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

Этап 6.2.1.6

Разделим $12$ на $- 0.00005378$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 728.86297376$ и $109329.44606413$ .

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $223121.31849824$ из $108600.58309037$ .

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 114520.73540786$ .

$- 114520.73540786$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ , поскольку $f'' (- 0.14)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $\frac{2}{8}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $\frac{2}{8}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.1.6

Умножим $\frac{42}{16}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $\frac{42}{16}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.1.8

Изменим порядок множителей в $8 \cdot 4$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.1.9

Умножим $4$ на $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.1.10

Изменим порядок множителей в $16 \cdot 2$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.1.11

Умножим $2$ на $16$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Этап 7.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $42$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

Этап 7.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Добавим $8$ и $84$ .

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

Этап 7.2.4.2

Добавим $92$ и $12$ .

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

Этап 7.2.4.3

Сократим общий множитель $104$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.1

Вынесем множитель $8$ из $104$ .

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

Этап 7.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9