Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 5 x$ и $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

По правилу суммы производная $25 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.7

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.10.2

Умножим $x^{2} + 5 x$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.12

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 5 x$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot ((x^{2} + 5 x) x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Развернем $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.2.1

Умножим $2$ на $25$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2.2

Умножим $25$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.5

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.2

Объединим противоположные члены в $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.2.1

Добавим $- 2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.2.2

Добавим $50 x + 125 - 5 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.3

Добавим $- 5 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $50 x$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.3

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.1.3.5.2.3

Перепишем многочлен.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.4

Применим правило умножения к $(5 + x) (5 - x)$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7

Сократим общий множитель ${(x + 5)}^{2}$ и ${(5 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$5 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $5 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(5 - x)}^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $5 - x$ к $0$ .

$5 - x = 0$

Этап 5.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 5.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 6

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ в интервале $(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$ .

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, 5)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - (4))}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$f' (4) = \frac{5}{1^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Этап 7.2.2

Разделим $5$ на $1$ .

$f' (4) = 5$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 7.3

При $x = 4$ производная имеет вид $5$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 5)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 5)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(5, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - (6))}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - 6)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (6) = \frac{5}{1}$

Этап 8.2.2

Разделим $5$ на $1$ .

$f' (6) = 5$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 8.3

При $x = 6$ производная имеет вид $5$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(5, \infty)$ .

Возрастание в области $(5, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 5), (5, \infty)$

Этап 10