Математический анализ Примеры

$4 x^{3} - 4 x$

Этап 1

Запишем $4 x^{3} - 4 x$ в виде функции.

$f (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$12 x^{2} = 4$

Этап 3.3

Разделим каждый член $12 x^{2} = 4$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $12 x^{2} = 4$ на $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.57735026$ .

$f' (- 1.57735026) = 12 {(- 1.57735026)}^{2} - 4$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.57735026$ в степень $2$ .

$f' (- 1.57735026) = 12 \cdot 2.48803384 - 4$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = 29.85640611 - 4$

Этап 6.2.2

Вычтем $4$ из $29.85640611$ .

$f' (- 1.57735026) = 25.85640611$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $25.85640611$ .

$25.85640611$

Этап 6.3

При $x = - 1.57735026$ производная имеет вид $25.85640611$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 4$

Этап 7.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$f' (0) = - 4$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 7.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- 4$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Убывание на $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.57735026$ .

$f' (1.57735026) = 12 {(1.57735026)}^{2} - 4$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $1.57735026$ в степень $2$ .

$f' (1.57735026) = 12 \cdot 2.48803384 - 4$

Этап 8.2.1.2

Умножим $12$ на $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = 29.85640611 - 4$

Этап 8.2.2

Вычтем $4$ из $29.85640611$ .

$f' (1.57735026) = 25.85640611$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $25.85640611$ .

$25.85640611$

Этап 8.3

При $x = 1.57735026$ производная имеет вид $25.85640611$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 10