Математический анализ Примеры

${(6 (\cos (60 °) + i \sin (60 °)))}^{3}$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Точное значение $\cos (60 °)$ : $\frac{1}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \sin (60 °)))}^{3}$

Этап 1.1.2

Точное значение $\sin (60 °)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Этап 1.1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Этап 1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(6 (\frac{1}{2}) + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

${(2 (3) \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

${(2 \cdot 3 \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

${(3 + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

${(3 + 2 (3) \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

${(3 + 2 \cdot 3 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

${(3 + 3 (i \sqrt{3}))}^{3}$

Этап 2

Воспользуемся бином Ньютона.

$3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.2

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 + 3^{1 + 2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$27 + 3^{3} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.3

Умножим $3^{3}$ на $3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Перенесем $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $3$ на $3^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 + 3^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$27 + 3^{4} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$27 + 81 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Применим правило умножения к $3 i \sqrt{3}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 ({(3 i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.6.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (3^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.8

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.9

Умножим $9$ на $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{1}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.10.5

Найдем экспоненту.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.11

Умножим $9 (- 9 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.11.1

Умножим $- 9$ на $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 \cdot - 27 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.11.2

Умножим $9$ на $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 3.1.12

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.1

Применим правило умножения к $3 i \sqrt{3}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 3.1.12.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 3^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 3.1.13

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 3.1.14

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 3.1.15

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 3.1.16

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- i) {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 3.1.17

Умножим $- 1$ на $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 3.1.18

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{3}}$

Этап 3.1.19

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{27}$

Этап 3.1.20

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.20.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{9 (3)}$

Этап 3.1.20.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Этап 3.1.21

Вынесем члены из-под знака корня.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i (3 \sqrt{3})$

Этап 3.1.22

Умножим $3$ на $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 81 i \sqrt{3}$

Этап 3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $243$ из $27$ .

$81 i \sqrt{3} - 216 - 81 i \sqrt{3}$

Этап 3.2.2

Вычтем $81 i \sqrt{3}$ из $81 i \sqrt{3}$ .

$0 - 216$

Этап 3.2.3

Вычтем $216$ из $0$ .

$- 216$