Математический анализ Примеры

$5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 1

Запишем $5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.9

Объединим $5$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.10

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{3}}$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Этап 2.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Этап 2.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.1.3.7

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.1.3.8

Объединим $- 2$ и $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Этап 2.1.3.9

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $\frac{10}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.13

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.13.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.15

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2.16

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- \frac{10}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ по $x$ равна $- \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.3.2

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 2.2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 2.2.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 2.2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 2.2.3.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 2.2.3.9

Умножим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ на $\frac{10}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} \cdot 10}{3 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.10

Умножим $10$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.11

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

Этап 2.2.3.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$9 x^{\frac{4}{3}}, 9 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 3.2.2

Since $9 x^{\frac{4}{3}}, 9 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{4}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 3.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК $9, 9, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3 \cdot 3$

Этап 3.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 3.2.8

НОК $x^{\frac{4}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.9

НОК $9 x^{\frac{4}{3}}, 9 x^{\frac{1}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $9$ и переменной части.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ умножим на $9 x^{\frac{4}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ на $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ в числитель.

$\frac{- 10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 10 - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ в числитель.

$- 10 + \frac{- 20}{9 x^{\frac{1}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}} \cdot 9$ из $9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 10 + \frac{- 20}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}} \cdot 9$ из $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 10 + \frac{- 20}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{3}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$- 10 + \frac{- 20}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 x^{\frac{3}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$- 10 - 20 x^{\frac{3}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.3

Разделим $3$ на $3$ .

$- 10 - 20 x^{1} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.2.1.4

Упростим.

$- 10 - 20 x = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $9$ на $0$ .

$- 10 - 20 x = 0 x^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 10 - 20 x = 0$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$- 20 x = 10$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- 20 x = 10$ на $- 20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- 20 x = 10$ на $- 20$ .

$\frac{- 20 x}{- 20} = \frac{10}{- 20}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 20 x}{- 20} = \frac{10}{- 20}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{- 20}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $- 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$x = \frac{10 (1)}{- 20}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $- 20$ .

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 2}$

Этап 3.4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 2}$

Этап 3.4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{- 2}$

Этап 3.4.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ в $f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = 5 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 (1 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.8

Объединим $5$ и $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{5}{3}})$

Этап 4.1.2.1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} (\frac{1^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}))$

Этап 4.1.2.1.10

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} (\frac{1^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}))$

Этап 4.1.2.1.11

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{1^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}))$

Этап 4.1.2.1.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.12.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{1^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}))$

Этап 4.1.2.1.12.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}))$

Этап 4.1.2.1.13

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 (- \frac{1^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}})$

Этап 4.1.2.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} - 2 (- \frac{1}{2^{\frac{5}{3}}})$

Этап 4.1.2.1.15

Умножим $- 2 (- \frac{1}{2^{\frac{5}{3}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.15.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + 2 (\frac{1}{2^{\frac{5}{3}}})$

Этап 4.1.2.1.15.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2^{\frac{5}{3}}}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{2^{\frac{5}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.16

Перенесем $2^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{- 1}}$

Этап 4.1.2.1.17

Умножим $2^{\frac{5}{3}}$ на $2^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.17.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2^{\frac{5}{3} - 1}}$

Этап 4.1.2.1.17.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.17.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.17.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.17.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.17.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2^{\frac{5 - 3}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.17.5.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 + 1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $5$ и $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{6}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{6}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2

Подставляя $- \frac{1}{2}$ в $f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ , найдем точку $(- \frac{1}{2}, \frac{6}{2^{\frac{2}{3}}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{1}{2}, \frac{6}{2^{\frac{2}{3}}})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{1}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = - \frac{10}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(- 0.6)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Чтобы записать $- \frac{20}{9 {(- 0.6)}^{\frac{1}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.6) = - \frac{10}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(- 0.6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 6.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $\frac{20}{9 {(- 0.6)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{{(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.6) = - \frac{10}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.6)}^{\frac{1}{3}} {(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим ${(- 0.6)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Перенесем ${(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 0.6) = - \frac{10}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 0.6)}^{\frac{3}{3}} {(- 0.6)}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 6.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (- 0.6) = - \frac{10}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.6)}^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 6.2.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 0.6) = - \frac{10}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.6)}^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Этап 6.2.2.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (- 0.6) = - \frac{10}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 0.6) = \frac{- 10 - 20 {(- 0.6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 10 - 20 \cdot - 0.6}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.4.2

Возведем $- 0.6$ в степень $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 10 - 20 \cdot - 0.6}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.4.3

Умножим $- 20$ на $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 10 + 12}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.4.4

Добавим $- 10$ и $12$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.5

Перепишем $2$ в виде $1 (2)$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{1 (2)}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Вынесем множитель $1$ из $9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{1 (2)}{1 (9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 6.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 0.6) = \frac{1 \cdot 2}{1 (9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 6.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 0.6) = \frac{2}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.7

Окончательный ответ: $\frac{2}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2}{9 {(- 0.6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.3

При $- 0.6$ вторая производная имеет вид $0.43912263$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \frac{1}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = - \frac{10}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(- 0.4)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Чтобы записать $- \frac{20}{9 {(- 0.4)}^{\frac{1}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.4) = - \frac{10}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(- 0.4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 7.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $\frac{20}{9 {(- 0.4)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{{(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.4) = - \frac{10}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.4)}^{\frac{1}{3}} {(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 7.2.2.2

Умножим ${(- 0.4)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Перенесем ${(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 0.4) = - \frac{10}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 0.4)}^{\frac{3}{3}} {(- 0.4)}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 7.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (- 0.4) = - \frac{10}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.4)}^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 0.4) = - \frac{10}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.4)}^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Этап 7.2.2.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (- 0.4) = - \frac{10}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 {(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 0.4) = \frac{- 10 - 20 {(- 0.4)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{- 10 - 20 \cdot - 0.4}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.4.2

Возведем $- 0.4$ в степень $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{- 10 - 20 \cdot - 0.4}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.4.3

Умножим $- 20$ на $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{- 10 + 8}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.4.4

Добавим $- 10$ и $8$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{- 2}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.5

Перепишем $- 2$ в виде $1 (- 2)$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{1 (- 2)}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вынесем множитель $1$ из $9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{1 (- 2)}{1 (9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 7.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 0.4) = \frac{1 \cdot - 2}{1 (9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 7.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 0.4) = \frac{- 2}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.4) = - \frac{2}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{2}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 {(- 0.4)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.3

При $- 0.4$ вторая производная имеет вид $- 0.75400489$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Убывание на $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- \frac{1}{2}, \frac{6}{2^{\frac{2}{3}}})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{6}{2^{\frac{2}{3}}})$

Этап 9