Математический анализ Примеры

$(1 - x) e^{x}$

Этап 1

Запишем $(1 - x) e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = (1 - x) e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 - x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = (1 - x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (1 - x)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (1 - x)$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (- x)$

Этап 2.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (- \frac{d}{d x} x)$

Этап 2.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \cdot - 1$

Этап 2.1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{x}$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} - 1 \cdot e^{x}$

Этап 2.1.3.6.3

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} - e^{x}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 1 e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Этап 2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 0$

Этап 2.1.4.2.3

Добавим $- x e^{x}$ и $0$ .

$f' (x) = - x e^{x}$

Этап 2.1.4.3

Изменим порядок множителей в $- x e^{x}$ .

$f' (x) = - e^{x} x$

Этап 2.1.4.4

Изменим порядок множителей в $- e^{x} x$ .

$f' (x) = - x e^{x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.2.3

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 2.2.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x})$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x}$

Этап 2.2.5.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - e^{x} x - e^{x}$

Этап 2.2.5.3

Изменим порядок множителей в $- e^{x} x - e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} - e^{x}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x e^{x} - e^{x}$ .

$- x e^{x} - e^{x}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x e^{x} - e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- x e^{x} - e^{x} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- x e^{x} - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) - e^{x} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$e^{x} (- x - 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x - 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.5

Приравняем $- x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $- x - 1$ к $0$ .

$- x - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $- x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x = 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (- x - 1) = 0$ верно.

$x = - 1$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 1$ в $f (x) = (1 - x) e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = (1 - (- 1)) \cdot e^{- 1}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = (1 + 1) \cdot e^{- 1}$

Этап 4.1.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Этап 4.1.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = \frac{2}{e}$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Этап 4.2

Подставляя $- 1$ в $f (x) = (1 - x) e^{x}$ , найдем точку $(- 1, \frac{2}{e})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, \frac{2}{e})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 1.1 \cdot e^{- 1.1} - e^{- 1.1}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.1) = 1.1 \cdot \frac{1}{e^{1.1}} - e^{- 1.1}$

Этап 6.2.1.2

Объединим $1.1$ и $\frac{1}{e^{1.1}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{e^{1.1}} - e^{- 1.1}$

Этап 6.2.1.3

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{{2.71828182}^{1.1}} - e^{- 1.1}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $2.71828182$ в степень $1.1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{3.00416602} - e^{- 1.1}$

Этап 6.2.1.5

Разделим $1.1$ на $3.00416602$ .

$f'' (- 1.1) = 0.36615819 - e^{- 1.1}$

Этап 6.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.1) = 0.36615819 - \frac{1}{e^{1.1}}$

Этап 6.2.2

Вычтем $\frac{1}{e^{1.1}}$ из $0.36615819$ .

$f'' (- 1.1) = 0.0332871$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.0332871$ .

$0.0332871$

Этап 6.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $0.0332871$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 0.9 \cdot e^{- 0.9} - e^{- 0.9}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.9) = 0.9 \cdot \frac{1}{e^{0.9}} - e^{- 0.9}$

Этап 7.2.1.2

Объединим $0.9$ и $\frac{1}{e^{0.9}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{e^{0.9}} - e^{- 0.9}$

Этап 7.2.1.3

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{{2.71828182}^{0.9}} - e^{- 0.9}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2.71828182$ в степень $0.9$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{2.45960311} - e^{- 0.9}$

Этап 7.2.1.5

Разделим $0.9$ на $2.45960311$ .

$f'' (- 0.9) = 0.36591269 - e^{- 0.9}$

Этап 7.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.9) = 0.36591269 - \frac{1}{e^{0.9}}$

Этап 7.2.2

Вычтем $\frac{1}{e^{0.9}}$ из $0.36591269$ .

$f'' (- 0.9) = - 0.04065696$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 0.04065696$ .

$- 0.04065696$

Этап 7.3

При $- 0.9$ вторая производная имеет вид $- 0.04065696$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 1, \infty)$ .

Убывание на $(- 1, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- 1, \frac{2}{e})$ .

$(- 1, \frac{2}{e})$

Этап 9