Математический анализ Примеры

$e^{x} (x - 2)$

Этап 1

Запишем $e^{x} (x - 2)$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} (x - 2)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = e^{x} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = e^{x} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} + (x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + (x - 2) e^{x}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = e^{x} + x e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 2.1.4.2

Вычтем $2 e^{x}$ из $e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} - e^{x}$

Этап 2.1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} x - e^{x}$

Этап 2.1.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x - e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} - e^{x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x e^{x} - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 2.2.2.2

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 2.2.2.4

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Этап 2.2.3.2

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} - e^{x}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 0$

Этап 2.2.4.1.2

Добавим $x e^{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = x e^{x}$

Этап 2.2.4.2

Изменим порядок множителей в $x e^{x}$ .

$f'' (x) = e^{x} x$

Этап 2.2.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x$ .

$f'' (x) = x e^{x}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $x e^{x}$ .

$x e^{x}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$x e^{x} = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x e^{x} = 0$ верно.

$x = 0$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = e^{x} (x - 2)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = e^{0} ((0) - 2)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 1 ((0) - 2)$

Этап 4.1.2.2

Умножим $(0) - 2$ на $1$ .

$f (0) = (0) - 2$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (0) = - 2$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = e^{x} (x - 2)$ , найдем точку $(0, - 2)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, - 2)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = (- 0.1) \cdot e^{- 0.1}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.1 \cdot \frac{1}{e^{0.1}}$

Этап 6.2.2

Объединим $- 0.1$ и $\frac{1}{e^{0.1}}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.1}{e^{0.1}}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.1) = - \frac{0.1}{e^{0.1}}$

Этап 6.2.4

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.1) = - \frac{0.1}{{2.71828182}^{0.1}}$

Этап 6.2.5

Возведем $2.71828182$ в степень $0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{0.1}{1.10517091}$

Этап 6.2.6

Разделим $0.1$ на $1.10517091$ .

$f'' (- 0.1) = - 1 \cdot 0.09048374$

Этап 6.2.7

Умножим $- 1$ на $0.09048374$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.09048374$

Этап 6.2.8

Окончательный ответ: $- 0.09048374$ .

$- 0.09048374$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.09048374$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = (0.1) \cdot e^{0.1}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $0.1$ на $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.11051709$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $0.11051709$ .

$0.11051709$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.11051709$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Этап 9