Математический анализ Примеры

$f (x) = 28 e^{x} - e^{2 x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $28 e^{x} - e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [28 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (28 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [28 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 e^{x}$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 28 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = 28 e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{2 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 1.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 28 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $28 e^{x} - 2 e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [28 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (28 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [28 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 e^{x}$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 28 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Этап 1.2.2.2

$f'' (x) = 28 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{2 x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 28 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Этап 1.2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 28 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.2.3.2.2

$f'' (x) = 28 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 28 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 28 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 28 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 1.2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 28 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 1.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 28 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 1.2.3.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 28 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $28 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$28 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $28 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$28 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$28 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$28 u - 4 u^{2} = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $4 u$ из $28 u - 4 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $4 u$ из $28 u$ .

$4 u (7) - 4 u^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $4 u$ из $- 4 u^{2}$ .

$4 u (7) + 4 u (- u) = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u (7) + 4 u (- u)$ .

$4 u (7 - u) = 0$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$4 e^{x} (7 - e^{x}) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$7 - e^{x} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $7 - e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $7 - e^{x}$ к $0$ .

$7 - e^{x} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $7 - e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- e^{x} = - 7$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- e^{x} = - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- e^{x} = - 7$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$e^{x} = 7$

Этап 2.5.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (7)$

Этап 2.5.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (7)$

Этап 2.5.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (7)$

Этап 2.5.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (7)$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 e^{x} (7 - e^{x}) = 0$ верно.

$x = \ln (7)$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\ln (7)$ в $f (x) = 28 e^{x} - e^{2 x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (7)$ .

$f (\ln (7)) = 28 e^{\ln (7)} - e^{2 (\ln (7))}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (7)) = 28 \cdot 7 - e^{2 (\ln (7))}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $28$ на $7$ .

$f (\ln (7)) = 196 - e^{2 (\ln (7))}$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим $2 (\ln (7))$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\ln (7)) = 196 - e^{\ln (7^{2})}$

Этап 3.1.2.1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (7)) = 196 - 7^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (\ln (7)) = 196 - 1 \cdot 49$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $49$ .

$f (\ln (7)) = 196 - 49$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $49$ из $196$ .

$f (\ln (7)) = 147$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $147$ .

$147$

Этап 3.2

Подставляя $\ln (7)$ в $f (x) = 28 e^{x} - e^{2 x}$ , найдем точку $(\ln (7), 147)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\ln (7), 147)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \ln (7)) \cup (\ln (7), \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \ln (7))$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.84591014$ .

$f'' (1.84591014) = 28 e^{1.84591014} - 4 e^{2 (1.84591014)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $1.84591014$ .

$f'' (1.84591014) = 28 e^{1.84591014} - 4 e^{3.69182029}$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $28 e^{1.84591014} - 4 e^{3.69182029}$ .

$28 e^{1.84591014} - 4 e^{3.69182029}$

Этап 5.3

При $1.84591014$ вторая производная имеет вид $16.87690633$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, \ln (7))$ .

Возрастание в области $(- \infty, \ln (7))$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\ln (7), \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.04591014$ .

$f'' (2.04591014) = 28 e^{2.04591014} - 4 e^{2 (2.04591014)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $2.04591014$ .

$f'' (2.04591014) = 28 e^{2.04591014} - 4 e^{4.09182029}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $28 e^{2.04591014} - 4 e^{4.09182029}$ .

$28 e^{2.04591014} - 4 e^{4.09182029}$

Этап 6.3

При $2.04591014$ вторая производная имеет вид $- 22.78144065$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\ln (7), \infty)$ .

Убывание на $(\ln (7), \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\ln (7), 147)$ .

$(\ln (7), 147)$

Этап 8