Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.1.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 1.1.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 1.1.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 1.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 1.1.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.1.11

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.1.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13.2.2

Объединим $3$ и $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.2

$- 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.3

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 (e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.13

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.16

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2.17

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.6

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.16

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.17

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.18

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.18.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.18.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.18.2.1

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.18.2.2

Перепишем это выражение.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Этап 1.2.3.19

Упростим.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 1.2.3.20

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 1.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 1.2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Объединим $- 3$ и $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 1.2.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 1.2.4.3.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 1.2.4.3.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 1.2.4.3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 1.2.4.3.6

Объединим $- 3$ и $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 1.2.4.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 1.2.4.3.8

Чтобы записать $- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 1.2.4.3.9

Чтобы записать $\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.10.1

Умножим $\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.6

Добавим $2$ и $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.7

Умножим $\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.8

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.10.8.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Этап 1.2.4.3.10.8.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.10.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Этап 1.2.4.3.10.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 1.2.4.3.10.8.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.10.8.5

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.4

Изменим порядок членов.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.1.1.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x e^{- x} + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.1.1.2

Изменим порядок $- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 x e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.2

Вычтем $3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ из $- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.3

Вынесем множитель $3 e^{- x}$ из $- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.3.1

Вынесем множитель $3 e^{- x}$ из $- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.3.2

Вынесем множитель $3 e^{- x}$ из $- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 3 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.3.3

Вынесем множитель $3 e^{- x}$ из $3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 3 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.6

Чтобы записать $2 x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.7

Объединим $2 x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.9.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.9.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.9.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.9.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.9.3

Упростим $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.9.4

Умножим $2$ на $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.10.1

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.10.2

Объединим $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $- 3$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.10.3

Объединим $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.11

Сократим выражение $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.11.1

Сократим общий множитель.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.11.2

Перепишем это выражение.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.12

Перенесем $- 3$ влево от $4 x + 1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.5.3

Умножим $- \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.3.1

Умножим $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 1.2.4.5.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.6

Чтобы записать $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.7

Объединим $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.9.1

Вынесем множитель $3 e^{- x}$ из $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 3 (4 x + 1) e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.9.1.1

Вынесем множитель $3 e^{- x}$ из $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.1.2

Вынесем множитель $3 e^{- x}$ из $- 3 (4 x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 3 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.1.3

Вынесем множитель $3 e^{- x}$ из $3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 3 e^{- x} (- (4 x + 1))$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.9.2.1

Перенесем $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.2.5

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.9.3.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.4.9.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.3.2.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.3.2.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2.3.3

Приравняем $4 x^{2} - 4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $4 x^{2} - 4 x - 1$ к $0$ .

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.3.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 4$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.3.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.3.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.3.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 2.3.3.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.3.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.4.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.4.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.3.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.3.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.5.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.5.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 2.3.3.2.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.3.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.3.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ истинным.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1.20710678$ в $f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.20710678$ .

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1.20710678$ .

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- 1.20710678}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} (\frac{1}{e^{1.20710678}})$

Этап 3.1.2.4

Умножим $3 \sqrt{1.20710678} \frac{1}{e^{1.20710678}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Объединим $\frac{1}{e^{1.20710678}}$ и $3$ .

$f (1.20710678) = \frac{3}{e^{1.20710678}} \cdot \sqrt{1.20710678}$

Этап 3.1.2.4.2

Объединим $\frac{3}{e^{1.20710678}}$ и $\sqrt{1.20710678}$ .

$f (1.20710678) = \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Этап 3.1.2.5

Окончательный ответ: $\frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$ .

$\frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Этап 3.2

Подставляя $1.20710678$ в $f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$ , найдем точку $(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 1.20710678) \cup (1.20710678, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 1.20710678)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.10710678$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 e^{- (1.10710678)} (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $e^{- (1.10710678)}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678}}$

Этап 5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $1.10710678$ в степень $2$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4 \cdot 1.22568542 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $4$ на $1.22568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4.90274169 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 4$ на $1.10710678$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4.90274169 - 4.42842712 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.2.4

Вычтем $4.42842712$ из $4.90274169$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (0.47431457 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.2.5

Вычтем $1$ из $0.47431457$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $1.10710678$ в виде ${1.05219141}^{2}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({({1.05219141}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{3} e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.3.4

Возведем $1.05219141$ в степень $3$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot (1.16488825 e^{1.10710678})}$

Этап 5.2.3.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Умножим $4$ на $1.16488825$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4.65955301 e^{1.10710678}}$

Этап 5.2.3.5.2

Умножим $4.65955301$ на $e^{1.10710678}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{14.09790642}$

Этап 5.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $3$ на $- 0.52568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{- 1.57705627}{14.09790642}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $- 1.57705627$ на $14.09790642$ .

$f'' (1.10710678) = - 0.11186457$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $- 0.11186457$ .

$- 0.11186457$

Этап 5.3

При $1.10710678$ вторая производная имеет вид $- 0.11186457$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 1.20710678)$ .

Убывание на $(- \infty, 1.20710678)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(1.20710678, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.30710678$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 e^{- (1.30710678)} (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $e^{- (1.30710678)}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678}}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $1.30710678$ в степень $2$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (4 \cdot 1.70852813 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $4$ на $1.70852813$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (6.83411254 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.2.3

Умножим $- 4$ на $1.30710678$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (6.83411254 - 5.22842712 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.2.4

Вычтем $5.22842712$ из $6.83411254$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (1.60568542 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.2.5

Вычтем $1$ из $1.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $1.30710678$ в виде ${1.1432877}^{2}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({({1.1432877}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{3} e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.3.4

Возведем $1.1432877$ в степень $3$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot (1.49439911 e^{1.30710678})}$

Этап 6.2.3.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.5.1

Умножим $4$ на $1.49439911$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{5.97759645 e^{1.30710678}}$

Этап 6.2.3.5.2

Умножим $5.97759645$ на $e^{1.30710678}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{22.09000709}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $3$ на $0.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{1.81705627}{22.09000709}$

Этап 6.2.4.2

Разделим $1.81705627$ на $22.09000709$ .

$f'' (1.30710678) = 0.08225693$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $0.08225693$ .

$0.08225693$

Этап 6.3

При $1.30710678$ вторая производная имеет вид $0.08225693$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(1.20710678, \infty)$ .

Возрастание в области $(1.20710678, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ .

$(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Этап 8