Математический анализ Примеры

$x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$

Этап 1

Запишем $x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 6 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 + 0 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.5.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 + 0 + 0$

Этап 2.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2 x - 2 y$ и $0$ .

$2 x - 2 y - 6 + 0 + 0$

Этап 2.6.2

Добавим $2 x - 2 y - 6$ и $0$ .

$2 x - 2 y - 6 + 0$

Этап 2.6.3

Добавим $2 x - 2 y - 6$ и $0$ .

$2 x - 2 y - 6$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x - 2 y - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 2 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 3.3.2

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x - 2 y - 6 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.3

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Поскольку $- 6 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 + 0 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 5.1.5.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 + 0 + 0$

Этап 5.1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Добавим $2 x - 2 y$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y - 6 + 0 + 0$

Этап 5.1.6.2

Добавим $2 x - 2 y - 6$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y - 6 + 0$

Этап 5.1.6.3

Добавим $2 x - 2 y - 6$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y - 6$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - 2 y - 6$ .

$2 x - 2 y - 6$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - 2 y - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - 2 y - 6 = 0$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 6 = 2 y$

Этап 6.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 2 y + 6$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = 2 y + 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = 2 y + 6$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 y}{2} + \frac{6}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 y}{2} + \frac{6}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 y}{2} + \frac{6}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 y}{2} + \frac{6}{2}$

Этап 6.3.3.1.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$x = y + \frac{6}{2}$

Этап 6.3.3.1.2

Разделим $6$ на $2$ .

$x = y + 3$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = y + 3$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = y + 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2$

Этап 10

$x = y + 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = y + 3$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $y + 3$ .

$f (y + 3) = {(y + 3)}^{2} - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем ${(y + 3)}^{2}$ в виде $(y + 3) (y + 3)$ .

$f (y + 3) = (y + 3) (y + 3) - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.2

Развернем $(y + 3) (y + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y + 3) = y (y + 3) + 3 (y + 3) - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y + 3) = y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3) - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y + 3) = y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 3 y + 3 y + 9 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.3.2

Добавим $3 y$ и $3 y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 + (- 2 y - 2 \cdot 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 + (- 2 y - 6) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 y \cdot y - 6 y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.7

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Перенесем $y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 (y \cdot y) - 6 y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.7.2

Умножим $y$ на $y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 y^{2} - 6 y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 y^{2} - 6 y + 4 y^{2} - 6 y - 6 \cdot 3 - 6 y + 8$

Этап 11.2.1.9

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 y^{2} - 6 y + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Объединим противоположные члены в $y^{2} + 6 y + 9 - 2 y^{2} - 6 y + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Вычтем $6 y$ из $6 y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 9 - 2 y^{2} + 0 + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Этап 11.2.2.1.2

Добавим $y^{2} + 9 - 2 y^{2}$ и $0$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 9 - 2 y^{2} + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $2 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$f (y + 3) = - y^{2} + 9 + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- y^{2}$ и $4 y^{2}$ .

$f (y + 3) = 3 y^{2} + 9 - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Этап 11.2.2.4

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (y + 3) = 3 y^{2} - 6 y - 9 - 6 y + 8$

Этап 11.2.2.5

Вычтем $6 y$ из $- 6 y$ .

$f (y + 3) = 3 y^{2} - 12 y - 9 + 8$

Этап 11.2.2.6

Добавим $- 9$ и $8$ .

$f (y + 3) = 3 y^{2} - 12 y - 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $3 y^{2} - 12 y - 1$ .

$y = 3 y^{2} - 12 y - 1$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$ .

$(y + 3, 3 y^{2} - 12 y - 1)$ — локальный минимум

Этап 13