Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [5 e^{x} + 5 e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [5 e^{x} + 5 e^{- x}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $5 e^{x} + 5 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Этап 1.1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2} (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Этап 1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{- x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x} \cdot 1)$

Этап 1.5.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x})$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (5 e^{x}) + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Этап 1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Этап 1.6.2.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $e^{x}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Этап 1.6.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5}{2} e^{- x}$

Этап 1.6.2.4

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5 e^{- x}}{2}$

Этап 1.6.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- x}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 e^{x}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{5}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 e^{x}}{2}$ по $x$ равна $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- x}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{5}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5 e^{- x}}{2}$ по $x$ равна $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.2

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 2.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (- e^{- x})$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + 1 (\frac{5}{2}) \cdot e^{- x}$

Этап 2.3.9

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{5}{2} \cdot e^{- x}$

Этап 2.3.10

Объединим $\frac{5}{2}$ и $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{5 e^{- x}}{2}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{5}{2}$ и $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{5 e^{- x}}{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 e^{x} + 5 e^{- x})$

Этап 4.1.1.2

По правилу суммы производная $5 e^{x} + 5 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (5 e^{x}) + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Этап 4.1.1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Этап 4.1.2

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Этап 4.1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{- x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} (e^{- x}))$

Этап 4.1.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)))$

Этап 4.1.4.2

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)))$

Этап 4.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)))$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x} \frac{d}{d x} x)$

Этап 4.1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x} \cdot 1)$

Этап 4.1.5.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x})$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x}) + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Этап 4.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Этап 4.1.6.2.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Этап 4.1.6.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot e^{- x}$

Этап 4.1.6.2.4

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $e^{- x}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5 e^{- x}}{2}$

Этап 4.1.6.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$

Этап 5.2

Перенесем $- \frac{5 e^{- x}}{2}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$\frac{5 e^{x}}{2} = \frac{5 e^{- x}}{2}$

Этап 5.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$5 e^{x} = 5 e^{- x}$

Этап 5.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5 e^{x}) = \ln (5 e^{- x})$

Этап 5.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\ln (5 e^{x})$ в виде $\ln (5) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{x}) = \ln (5 e^{- x})$

Этап 5.5.2

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (5) + x \ln (e) = \ln (5 e^{- x})$

Этап 5.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (5) + x \cdot 1 = \ln (5 e^{- x})$

Этап 5.5.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5 e^{- x})$

Этап 5.6

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем $\ln (5 e^{- x})$ в виде $\ln (5) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) + \ln (e^{- x})$

Этап 5.6.2

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$\ln (5) + x = \ln (5) - x \ln (e)$

Этап 5.6.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) - x \cdot 1$

Этап 5.6.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) - x$

Этап 5.7

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (5) - \ln (5) = - x - x$

Этап 5.8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{5}) = - x - x$

Этап 5.9

Разделим $5$ на $5$ .

$\ln (1) = - x - x$

Этап 5.10

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$0 = - x - x$

Этап 5.11

Вычтем $x$ из $- x$ .

$0 = - 2 x$

Этап 5.12

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 2 x = 0$

Этап 5.13

Разделим каждый член $- 2 x = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Разделим каждый член $- 2 x = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 5.13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 5.13.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Этап 5.13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{5 e^{0}}{2} + \frac{5 e^{- (0)}}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 e^{0} + 5 e^{- (0)}}{2}$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 e^{- (0)}}{2}$

Этап 9.2.2

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5 + 5 e^{- (0)}}{2}$

Этап 9.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{5 + 5 e^{0}}{2}$

Этап 9.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{5 + 5 \cdot 1}{2}$

Этап 9.2.5

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5 + 5}{2}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Добавим $5$ и $5$ .

$\frac{10}{2}$

Этап 9.3.2

Разделим $10$ на $2$ .

$5$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{5 e^{0} + 5 e^{- (0)}}{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 e^{0} + 5 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{5 (e^{0} + e^{- (0)})}{2}$

Этап 11.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + e^{- (0)})}{2}$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + e^{0})}{2}$

Этап 11.2.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + 1)}{2}$

Этап 11.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (0) = \frac{5 \cdot 2}{2}$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f (0) = \frac{10}{2}$

Этап 11.2.2.2

Разделим $10$ на $2$ .

$f (0) = 5$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 5)$ — локальный минимум

Этап 13