Математический анализ Примеры

$y = \frac{9}{11} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{9}{11} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{9}{11} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{9}{11}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{11} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $\frac{9}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{9}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$\frac{9}{11} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.9

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.10

Умножим $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{9}{11}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 2.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{18}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 2.11.2

Умножим $11$ на $3$ .

$\frac{18}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 2.12

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$\frac{3 (6)}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (6)}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 6}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 2.14

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Этап 2.16

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Этап 2.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Этап 2.17.2

Объединим $2$ и $\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 2.17.3

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{12}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 2.17.4

Объединим $\frac{12}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{12}{11}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.3.3

Умножим ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.8.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.9.3

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.9.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.12

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.13.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.13.4

Объединим $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.17

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.19

Чтобы записать ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.20

Объединим ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.22

Умножим ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.22.1

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.22.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.22.4

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.22.5

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.23

Упростим ${(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.24

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.25

Перепишем $\frac{\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.26

Умножим $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.27

Умножим ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.27.1

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 3.27.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 3.27.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Этап 3.27.4

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.28

Умножим $\frac{12}{11}$ на $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{11 (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 3.29

Умножим $3$ на $11$ .

$f'' (x) = \frac{12 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.30

Вынесем множитель $3$ из $12 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}))}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.31

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.31.1

Вынесем множитель $3$ из $33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}))}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 3.31.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{3 (4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}))}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 3.31.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.32.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 - 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.32.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.32.3.1.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.3.1.2

Умножим $4 (3 \cdot - 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.32.3.1.2.1

Умножим $3$ на $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 75 + 4 (- 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.3.1.2.2

Умножим $4$ на $- 75$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 300 + 4 (- 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.3.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 300 - 8 x^{2}}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.3.2

Вычтем $8 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 300}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.32.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 300}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 300$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 75}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.32.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 \cdot - 75$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 75)}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.2.2

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.9

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 5.1.10

Умножим $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{9}{11}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 9}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 5.1.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.1

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (x) = \frac{18}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 5.1.11.2

Умножим $11$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{18}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 5.1.12

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$f' (x) = \frac{3 (6)}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 5.1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (6)}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 5.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 6}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 5.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 5.1.14

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))$

Этап 5.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))$

Этап 5.1.16

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Этап 5.1.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.17.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Этап 5.1.17.2

Объединим $2$ и $\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Этап 5.1.17.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Этап 5.1.17.4

Объединим $\frac{12}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$12 x = 0$

Этап 6.3

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$x = 0$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{12 x}{11 \sqrt[3]{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

Этап 7.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{12 x}{11 \sqrt[3]{x^{2} - 25}}$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{12 x}{11 \sqrt[3]{x^{2} - 25}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$11 \sqrt[3]{x^{2} - 25} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(11 \sqrt[3]{x^{2} - 25})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2} - 25}$ в виде ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим ${(11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$11^{3} {({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Возведем $11$ в степень $3$ .

$1331 {({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1331 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$1331 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1331 {(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.4

Упростим.

$1331 (x^{2} - 25) = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1331 x^{2} + 1331 \cdot - 25 = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.6

Умножим $1331$ на $- 25$ .

$1331 x^{2} - 33275 = 0^{3}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1331 x^{2} - 33275 = 0$

Этап 7.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Добавим $33275$ к обеим частям уравнения.

$1331 x^{2} = 33275$

Этап 7.3.3.2

Разделим каждый член $1331 x^{2} = 33275$ на $1331$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Разделим каждый член $1331 x^{2} = 33275$ на $1331$ .

$\frac{1331 x^{2}}{1331} = \frac{33275}{1331}$

Этап 7.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $1331$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1331 x^{2}}{1331} = \frac{33275}{1331}$

Этап 7.3.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{33275}{1331}$

Этап 7.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.3.1

Разделим $33275$ на $1331$ .

$x^{2} = 25$

Этап 7.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 7.3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 7.3.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 7.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 7.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 7.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 7.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 5, x = 5$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 5, 5$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 75)}{11 {({(0)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 (0 - 75)}{11 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.2

Вычтем $75$ из $0$ .

$\frac{4 \cdot - 75}{11 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 \cdot - 75}{11 {(0 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$\frac{4 \cdot - 75}{11 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $4$ на $- 75$ .

$\frac{- 300}{11 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{300}{11 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 11

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{9}{11} \cdot {({(0)}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{9}{11} \cdot {(0 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 12.2.1.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$f (0) = \frac{9}{11} \cdot {(- 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 12.2.2

Объединим $\frac{9}{11}$ и ${(- 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{9 {(- 25)}^{\frac{2}{3}}}{11}$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $\frac{9 {(- 25)}^{\frac{2}{3}}}{11}$ .

$y = \frac{9 {(- 25)}^{\frac{2}{3}}}{11}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 {({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 {(25 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.1.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.1.3

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 14.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0^{4}}$

Этап 14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0}$

Этап 14.3.2

Умножим $11$ на $0$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Этап 14.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Этап 14.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 15

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 15.2

Подставим любое число такое, что $- 8$ , из интервала $(- \infty, - 5)$ в первую производную $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f' (- 8) = \frac{12 (- 8)}{11 {({(- 8)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $12$ на $- 8$ .

$f' (- 8) = \frac{- 96}{11 {({(- 8)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f' (- 8) = \frac{- 96}{11 {(64 - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.2.2.2.2

Вычтем $25$ из $64$ .

$f' (- 8) = \frac{- 96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 8) = - \frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.2.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- 5, 0)$ в первую производную $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{12 (- 2)}{11 {({(- 2)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Умножим $12$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{11 {({(- 2)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{11 {(4 - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2.2.2

Вычтем $25$ из $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 5)$ в первую производную $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{12 (2)}{11 {({(2)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Умножим $12$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{24}{11 {(2^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{24}{11 {(4 - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.2.2

Вычтем $25$ из $4$ .

$f' (2) = \frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.5

Подставим любое число такое, что $8$ , из интервала $(5, \infty)$ в первую производную $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = \frac{12 (8)}{11 {({(8)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1

Умножим $12$ на $8$ .

$f' (8) = \frac{96}{11 {(8^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f' (8) = \frac{96}{11 {(64 - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.5.2.2.2

Вычтем $25$ из $64$ .

$f' (8) = \frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 5$ , $x = - 5$ — локальный минимум.

$x = - 5$ — локальный минимум

Этап 15.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 15.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 5$ , $x = 5$ — локальный минимум.

$x = 5$ — локальный минимум

Этап 15.9

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{9}{11} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 5$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = 5$ — локальный минимум

$x = - 5$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = 5$ — локальный минимум

Этап 16