Математический анализ Примеры

$f (x) = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$ .

$x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ , который присутствует в каждом члене.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2.3

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(u)}^{3} - 9 u = 0$

Этап 1.2.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Избавимся от скобок.

$u^{3} - 9 u = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{3} - 9 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - 9 u = 0$

Этап 1.2.4.2.1.2

Вынесем множитель $u$ из $- 9 u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 9 = 0$

Этап 1.2.4.2.1.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u^{2} + u \cdot - 9$ .

$u (u^{2} - 9) = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u (u^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

$u ((u + 3) (u - 3)) = 0$

Этап 1.2.4.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$u (u + 3) (u - 3) = 0$

Этап 1.2.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$u - 3 = 0$

Этап 1.2.4.4

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 1.2.4.5

Приравняем $u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Приравняем $u + 3$ к $0$ .

$u + 3 = 0$

Этап 1.2.4.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$u = - 3$

Этап 1.2.4.6

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 1.2.4.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 1.2.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u + 3) (u - 3) = 0$ верно.

$u = 0, - 3, 3$

Этап 1.2.5

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0, - 3, 3$

Этап 1.2.6

Решим относительно $x^{\frac{1}{3}} = 0$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.2.6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{3}$

Этап 1.2.6.2.1.1.2

Упростим.

$x = 0^{3}$

Этап 1.2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.7

Решим относительно $x^{\frac{1}{3}} = - 3$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.7.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.7.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.7.2.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$x = - 27$

Этап 1.2.8

Решим относительно $x^{\frac{1}{3}} = 3$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Этап 1.2.8.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Этап 1.2.8.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Этап 1.2.8.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 3^{3}$

Этап 1.2.8.2.1.1.2

Упростим.

$x = 3^{3}$

Этап 1.2.8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x = 27$

Этап 1.2.9

Перечислим все решения.

$x = 0, - 27, 27$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.2.3

Упростим $(0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = 0 - 9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 2.2.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 2.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{1}$

Этап 2.2.3.1.4

Найдем экспоненту.

$y = 0 - 9 \cdot 0$

Этап 2.2.3.1.5

Умножим $- 9$ на $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 2.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4