Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 4 x$ , $[0, 4]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + 4 x = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{2} + 4 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 4, 0)$

$(0, 0)$

$(- 4, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{4} x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{4} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{4} x^{2} + 4 x - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $x^{2} + 4 x$ .

$\int_{0}^{4} x^{2} + 4 x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Этап 3.5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 4 \int_{0}^{4} x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $4$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 0 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$\frac{64}{3} + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{64}{3} + 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{3} + 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{2})$

Этап 3.7.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 3.7.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.7.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.7.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{1})$

Этап 3.7.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{64}{3} + 4 (8 - 0)$

Этап 3.7.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{64}{3} + 4 (8 + 0)$

Этап 3.7.2.3.12

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{64}{3} + 4 \cdot 8$

Этап 3.7.2.3.13

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{64}{3} + 32$

Этап 3.7.2.3.14

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.7.2.3.15

Объединим $32$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

Этап 3.7.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 + 32 \cdot 3}{3}$

Этап 3.7.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.17.1

Умножим $32$ на $3$ .

$\frac{64 + 96}{3}$

Этап 3.7.2.3.17.2

Добавим $64$ и $96$ .

$\frac{160}{3}$

Этап 4