Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{3}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 36 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 48 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 36 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $12 x$ из $36 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 12 x (3) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (3) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (3)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$12 x ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 x (x - 3) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x - 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 3, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$3 {(0)}^{4} - 16 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 16 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 16 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 16 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 16$ на $0$ .

$0 + 0 + 18 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 18 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $18$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$3 {(3)}^{4} - 16 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$3^{1} {(3)}^{4} - 16 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3^{1 + 4} - 16 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$3^{5} - 16 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 - 16 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$243 - 16 \cdot 27 + 18 {(3)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 16$ на $27$ .

$243 - 432 + 18 {(3)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$243 - 432 + 18 \cdot 9$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $18$ на $9$ .

$243 - 432 + 162$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $432$ из $243$ .

$- 189 + 162$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 189$ и $162$ .

$- 27$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$3 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 16 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 16 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 16$ на $1$ .

$3 - 16 + 18 {(1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 16 + 18 \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $18$ на $1$ .

$3 - 16 + 18$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $16$ из $3$ .

$- 13 + 18$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $- 13$ и $18$ .

$5$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (3, - 27), (1, 5)$

Этап 5