Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{\ln (x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Этап 1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{1}{x}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} 4 x^{3} x$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x^{3})$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 3}$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $3$ .

$lim_{x \to \infty} 4 x^{4}$

Этап 6

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\infty$