Математический анализ Примеры

$f'' (x) = 24 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f' (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 24 x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Этап 3

Поскольку $24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$24 \int x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Этап 5

Поскольку $- 18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 18$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

Этап 7

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $8$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

Этап 9.2.3.2.4

Разделим $4 x^{2}$ на $1$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Этап 10

Функция $f'$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f' (x) = 6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Этап 11

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Этап 13

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Этап 14

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Этап 15

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Этап 16

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Этап 17

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

Этап 18

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Этап 19

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Этап 20.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Этап 20.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

Этап 20.2

Упростим.

$\frac{6 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

Этап 21

Изменим порядок членов.

$\frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

Этап 22

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = \frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$