Математический анализ Примеры

$k^{2} (2 k + 3) + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Этап 1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 k^{2} k + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Этап 1.3

Перенесем $3$ влево от $k^{2}$ .

$2 k^{2} k + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Этап 1.4

Умножим $k^{2}$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $k$ .

$2 (k \cdot k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Этап 1.4.2

Умножим $k$ на $k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $k$ в степень $1$ .

$2 (k^{1} k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Этап 1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 k^{1 + 2} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Этап 1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 k^{3} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Этап 2

Упростим ${(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(k + 1)}^{2}$ в виде $(k + 1) (k + 1)$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k + 1) (k + 1) (2 k + 5)$

Этап 2.2

Развернем $(k + 1) (k + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k (k + 1) + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $k$ на $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Этап 2.3.1.3

Умножим $k$ на $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Этап 2.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1) (2 k + 5)$

Этап 2.3.2

Добавим $k$ и $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$

Этап 2.4

Развернем $(k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.2

Умножим $k^{2}$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Перенесем $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $k$ на $k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.2.1

Возведем $k$ в степень $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.3

Перенесем $5$ влево от $k^{2}$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 \cdot k^{2} + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.5

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.5.1

Перенесем $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.5.2

Умножим $k$ на $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.7

Умножим $5$ на $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.8

Умножим $2 k$ на $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 1 \cdot 5$

Этап 2.5.1.9

Умножим $5$ на $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

Этап 2.5.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $5 k^{2}$ и $4 k^{2}$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

Этап 2.5.2.2

Добавим $10 k$ и $2 k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 12 k + 5$

Этап 3

Перенесем все члены с $k$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $2 k^{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} = 9 k^{2} + 12 k + 5$

Этап 3.2

Вычтем $9 k^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} = 12 k + 5$

Этап 3.3

Вычтем $12 k$ из обеих частей уравнения.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.4

Объединим противоположные члены в $2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2 k^{3}$ из $2 k^{3}$ .

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 + 0 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.4.2

Добавим $3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1$ и $0$ .

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем ${(k + 1)}^{2}$ в виде $(k + 1) (k + 1)$ .

$3 k^{2} + 6 ((k + 1) (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.2

Развернем $(k + 1) (k + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 k^{2} + 6 (k (k + 1) + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.3.1.2

Умножим $k$ на $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.3.1.3

Умножим $k$ на $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.3.2

Добавим $k$ и $k$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + 2 k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 (2 k) + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $2$ на $6$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.5.5.2

Умножим $6$ на $1$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Этап 3.6

Объединим противоположные члены в $3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вычтем $12 k$ из $12 k$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} + 0 = 5$

Этап 3.6.2

Добавим $3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ и $0$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

Этап 3.7

Добавим $3 k^{2}$ и $6 k^{2}$ .

$9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

Этап 3.8

Объединим противоположные члены в $9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вычтем $9 k^{2}$ из $9 k^{2}$ .

$0 + 6 - 1 = 5$

Этап 3.8.2

Добавим $0$ и $6$ .

$6 - 1 = 5$

Этап 3.9

Вычтем $1$ из $6$ .

$5 = 5$

Этап 4

Поскольку $5 = 5$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $k$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$