Математический анализ Примеры

$- \frac{12000}{r^{2}} + \frac{16 π r}{3} = 0$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$r^{2}, 3, 1$

Этап 1.2

Так как $r^{2}, 3, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $r^{2}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 1.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.7

НОК $1, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 1.8

Множители $r^{2}$ — $r \cdot r$ , то есть $r$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$r^{2} = r \cdot r$

$r$ встречается $2$ раз.

Этап 1.9

НОК $r^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$r \cdot r$

Этап 1.10

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2}$

Этап 1.11

НОК $r^{2}, 3, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 r^{2}$

Этап 2

Каждый член в $- \frac{12000}{r^{2}} + \frac{16 π r}{3} = 0$ умножим на $3 r^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $- \frac{12000}{r^{2}} + \frac{16 π r}{3} = 0$ на $3 r^{2}$ .

$- \frac{12000}{r^{2}} (3 r^{2}) + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{12000}{r^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 12000}{r^{2}} (3 r^{2}) + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.1.2

Вынесем множитель $r^{2}$ из $3 r^{2}$ .

$\frac{- 12000}{r^{2}} (r^{2} \cdot 3) + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12000}{r^{2}} (r^{2} \cdot 3) + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 12000 \cdot 3 + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 12000$ на $3$ .

$- 36000 + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 36000 + 3 \frac{16 π r}{3} r^{2} = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- 36000 + 3 \frac{16 π r}{3} r^{2} = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- 36000 + 16 π r \cdot r^{2} = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.5

Умножим $r$ на $r^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Перенесем $r^{2}$ .

$- 36000 + 16 π (r^{2} r) = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $r^{2}$ на $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.2.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$- 36000 + 16 π (r^{2} r^{1}) = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 36000 + 16 π r^{2 + 1} = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.2.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 36000 + 16 π r^{3} = 0 (3 r^{2})$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0 (3 r^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$- 36000 + 16 π r^{3} = 0 r^{2}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $0$ на $r^{2}$ .

$- 36000 + 16 π r^{3} = 0$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $36000$ к обеим частям уравнения.

$16 π r^{3} = 36000$

Этап 3.2

Вычтем $36000$ из обеих частей уравнения.

$16 π r^{3} - 36000 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 π r^{3} - 36000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $16$ из $16 π r^{3}$ .

$16 (π r^{3}) - 36000 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $16$ из $- 36000$ .

$16 (π r^{3}) + 16 \cdot - 2250 = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (π r^{3}) + 16 \cdot - 2250$ .

$16 (π r^{3} - 2250) = 0$

Этап 3.4

Разделим каждый член $16 (π r^{3} - 2250) = 0$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $16 (π r^{3} - 2250) = 0$ на $16$ .

$\frac{16 (π r^{3} - 2250)}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 (π r^{3} - 2250)}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $π r^{3} - 2250$ на $1$ .

$π r^{3} - 2250 = \frac{0}{16}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим $0$ на $16$ .

$π r^{3} - 2250 = 0$

Этап 3.5

Добавим $2250$ к обеим частям уравнения.

$π r^{3} = 2250$

Этап 3.6

Разделим каждый член $π r^{3} = 2250$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $π r^{3} = 2250$ на $π$ .

$\frac{π r^{3}}{π} = \frac{2250}{π}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π r^{3}}{π} = \frac{2250}{π}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $r^{3}$ на $1$ .

$r^{3} = \frac{2250}{π}$

Этап 3.7

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \sqrt[3]{\frac{2250}{π}}$

Этап 3.8

Упростим $\sqrt[3]{\frac{2250}{π}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{2250}{π}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{2250}}{\sqrt[3]{π}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{2250}}{\sqrt[3]{π}}$

Этап 3.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Перепишем $2250$ в виде $5^{3} \cdot 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Вынесем множитель $125$ из $2250$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{125 (18)}}{\sqrt[3]{π}}$

Этап 3.8.2.1.2

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{5^{3} \cdot 18}}{\sqrt[3]{π}}$

Этап 3.8.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{π}}$

Этап 3.8.3

Умножим $\frac{5 \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{π}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{π}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{2}}$

Этап 3.8.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Умножим $\frac{5 \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{π}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{\sqrt[3]{π} {\sqrt[3]{π}}^{2}}$

Этап 3.8.4.2

Возведем $\sqrt[3]{π}$ в степень $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{1} {\sqrt[3]{π}}^{2}}$

Этап 3.8.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{1 + 2}}$

Этап 3.8.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{3}}$

Этап 3.8.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{π}}^{3}$ в виде $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{π}$ в виде $π^{\frac{1}{3}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{{(π^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.8.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.8.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.8.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.8.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π^{1}}$

Этап 3.8.4.5.5

Упростим.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π}$

Этап 3.8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{π}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{π^{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} \sqrt[3]{π^{2}}}{π}$

Этап 3.8.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{π^{2} \cdot 18}}{π}$

Этап 3.8.6

Перенесем $18$ влево от $π^{2}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18 π^{2}}}{π}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18 π^{2}}}{π}$

Десятичная форма:

$r = 8.94700228 \dots$