Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{t^{4} - 1}{t}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (t)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (t) = \int \frac{t^{4} - 1}{t} d t$

Этап 3

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{t^{4}}{t} + \frac{- 1}{t} d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{t^{4}}{t} d t + \int \frac{- 1}{t} d t$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $t^{4}$ и $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{4}$ .

$\int \frac{t \cdot t^{3}}{t} d t + \int \frac{- 1}{t} d t$

Этап 5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int \frac{t \cdot t^{3}}{t^{1}} d t + \int \frac{- 1}{t} d t$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\int \frac{t \cdot t^{3}}{t \cdot 1} d t + \int \frac{- 1}{t} d t$

Этап 5.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{t \cdot t^{3}}{t \cdot 1} d t + \int \frac{- 1}{t} d t$

Этап 5.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{t^{3}}{1} d t + \int \frac{- 1}{t} d t$

Этап 5.1.2.5

Разделим $t^{3}$ на $1$ .

$\int t^{3} d t + \int \frac{- 1}{t} d t$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int t^{3} d t + \int - \frac{1}{t} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int - \frac{1}{t} d t$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} t^{4} + C - \int \frac{1}{t} d t$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C - (\ln (| t |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{4} t^{4} - \ln (| t |) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (t) = \frac{t^{4} - 1}{t}$ .

$F (t) =$ $\frac{1}{4} t^{4} - \ln (| t |) + C$