Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{5}{8}$ и $x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 8.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 8.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 8.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 8.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 10.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 11

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 \int x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 14

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 \int \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Этап 15

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \int \ln (3) d x$

Этап 16

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \ln (3) x + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим.

$\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Этап 17.2

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$