Математический анализ Примеры

$y = 2 x + 7$ ; $[1, 5]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x + 7 = 0$

Этап 1.2

Решим $2 x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 7$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 7$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{2}$

Этап 1.3

Подставим $- \frac{7}{2}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- \frac{7}{2}, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{5} 2 x + 7 d x - \int_{1}^{5} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{5} 2 x + 7 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $2 x + 7$ .

$\int_{1}^{5} 2 x + 7 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{5} 2 x d x + \int_{1}^{5} 7 d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} 7 d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + 7 x]_{1}^{5}$

Этап 3.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $1$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 7 x]_{1}^{5}$

Этап 3.8.2

Найдем значение $7 x$ в $5$ и в $1$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{25 - 1}{2} + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.4

Вычтем $1$ из $25$ .

$2 (\frac{24}{2}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.5

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$2 \frac{2 \cdot 12}{2} + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{12}{1}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.5.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$2 \cdot 12 + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.6

Умножим $2$ на $12$ .

$24 + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.7

Умножим $7$ на $5$ .

$24 + 35 - 7 \cdot 1$

Этап 3.8.3.8

Умножим $- 7$ на $1$ .

$24 + 35 - 7$

Этап 3.8.3.9

Вычтем $7$ из $35$ .

$24 + 28$

Этап 3.8.3.10

Добавим $24$ и $28$ .

$52$

Этап 4