Математический анализ Примеры

$y = 6 \sin (x)$ , $0 \leq x \leq π$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$6 \sin (x) = 0$

Этап 1.2

Решим $6 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $6 \sin (x) = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разделим каждый член $6 \sin (x) = 0$ на $6$ .

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 1.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 1.2.5

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 1.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Подставим $π n$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = 0, x = π n$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{π} 6 \sin (x) d x - \int_{0}^{π} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{π} 6 \sin (x) - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $6 \sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} 6 \sin (x) d x$

Этап 3.3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Этап 3.4

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$6 (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем значение $- \cos (x)$ в $π$ и в $0$ .

$6 (- \cos (π) + \cos (0))$

Этап 3.5.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$6 (- \cos (π) + 1)$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$6 (- - \cos (0) + 1)$

Этап 3.5.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$6 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 3.5.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 (- - 1 + 1)$

Этап 3.5.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 (1 + 1)$

Этап 3.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$6 \cdot 2$

Этап 3.5.3.6

Умножим $6$ на $2$ .

$12$

Этап 4