Математический анализ Примеры

$y = 7 e^{- x}$ ; $[0, 2]$

Этап 1

Запишем $y = 7 e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = 7 e^{- x}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 7 e^{- x} d x)$

Этап 6

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (7 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Этап 7

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (7 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (7 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 7 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 7 (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 7 ((e^{- 2}) - e^{0}))$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 7 (e^{- 2} - 1 \cdot 1))$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 7 (e^{- 2} - 1))$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 7 (\frac{1}{e^{2}} - 1))$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 7 \frac{1}{e^{2}} - 7 \cdot - 1)$

Этап 12.3

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 7}{e^{2}} - 7 \cdot - 1)$

Этап 12.4

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 7}{e^{2}} + 7)$

Этап 12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- \frac{7}{e^{2}} + 7)$

Этап 13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot (- \frac{7}{e^{2}} + 7)$

Этап 13.2

Добавим $2$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{7}{e^{2}} + 7)$

Этап 14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{7}{e^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 7$

Этап 14.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{7}{e^{2}}$ .

$A (x) = - \frac{7}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 7$

Этап 14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $7$ .

$A (x) = - \frac{7}{2 e^{2}} + \frac{7}{2}$

Этап 15