Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[- 2, 2]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2} + 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 1.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 1.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 1.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Этап 5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ в $2$ и в $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Этап 7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Этап 7.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

Этап 7.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

Этап 7.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

Этап 7.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

Этап 7.2.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

Этап 7.3.2.2

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Этап 7.3.2.3

Умножим $- - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

Этап 7.3.2.3.2

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Этап 7.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

Этап 7.3.4

Добавим $π$ и $π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

Этап 7.3.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

Этап 7.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Этап 7.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Этап 7.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Этап 7.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 7.3.7

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 7.3.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

Этап 8

Добавим $2$ и $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 9

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Этап 9.2

Умножим $4$ на $4$ .

$A (x) = \frac{π}{16}$

Этап 10