Математический анализ Примеры

$\int_{x^{2}}^{x^{6}} {(2 t - 1)}^{3} d t$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} {(2 t)}^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $2 t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 2^{3} t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $2 t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} + 3 (2^{2} t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} + 3 (4 t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} + 12 t^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.6

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.9

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 3

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $x^{2}$ и $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 4

По правилу суммы производная $\int_{x^{2}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 5

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x^{2}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 6

Возьмем производную от $- \int_{c}^{x^{2}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] (- (8 {(x^{2})}^{3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x (- (8 {(x^{2})}^{3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 8

Возьмем производную от $\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$2 x (- (8 {(x^{2})}^{3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + \frac{d}{d x} [x^{6}] (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$2 x (- (8 {(x^{2})}^{3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x (- (8 x^{2 \cdot 3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$2 x (- (8 x^{6} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x (- (8 x^{6} - 12 x^{2 \cdot 2} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x (- (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 x^{6 \cdot 3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2.4.2

Умножим $6$ на $3$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 x^{18} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 x^{18} - 12 x^{6 \cdot 2} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 9.2.5.2

Умножим $6$ на $2$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 x^{18} - 12 x^{12} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x (8 x^{6}) - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18} - 12 x^{12} + 6 x^{6} - 1)$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x (8 x^{6}) - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $8$ на $- 2$ .

$- 16 x \cdot x^{6} - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.2

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перенесем $x^{6}$ .

$- 16 (x^{6} x) - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.2.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 16 (x^{6} x^{1}) - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{6 + 1} - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.2.3

Добавим $6$ и $1$ .

$- 16 x^{7} - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.3

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$- 16 x^{7} + 24 x \cdot x^{4} - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.4

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 16 x^{7} + 24 (x^{4} x) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.4.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 16 x^{7} + 24 (x^{4} x^{1}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{7} + 24 x^{4 + 1} - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.4.3

Добавим $4$ и $1$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.5

Умножим $6$ на $- 2$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.8

Умножим $8$ на $6$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{5} x^{18} + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.9

Умножим $x^{5}$ на $x^{18}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.9.1

Перенесем $x^{18}$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 (x^{18} x^{5}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{18 + 5} + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.9.3

Добавим $18$ и $5$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.10

Умножим $- 12$ на $6$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{5} x^{12} + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.11

Умножим $x^{5}$ на $x^{12}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.11.1

Перенесем $x^{12}$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 (x^{12} x^{5}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.11.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{12 + 5} + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.11.3

Добавим $12$ и $5$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.12

Умножим $6$ на $6$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{5} x^{6} + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.13

Умножим $x^{5}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.13.1

Перенесем $x^{6}$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 (x^{6} x^{5}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{6 + 5} + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.13.3

Добавим $6$ и $5$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{11} + 6 x^{5} \cdot - 1$

Этап 10.3.14

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{11} - 6 x^{5}$

Этап 10.3.15

Вычтем $6 x^{5}$ из $24 x^{5}$ .

$- 16 x^{7} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{11} + 18 x^{5}$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{11} - 16 x^{7} + 18 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x$