Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Решим $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Упростим.

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Упростим ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{x}$ .

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Этап 1.2.3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Этап 1.2.3.2

Каждый член в $x = \frac{1}{x^{3}}$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим каждый член $x = \frac{1}{x^{3}}$ на $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Этап 1.2.3.2.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Этап 1.2.3.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{4} = 1$

Этап 1.2.3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Этап 1.2.3.3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.3.3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.3.3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{1}$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = \frac{1}{1}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{1}$

Этап 1.3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$y = 1$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.4.2

Разделим $1$ на $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $\sqrt[3]{x}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3.6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Этап 3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Этап 3.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Этап 3.8.2.2

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ в $1$ и в $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 3.8.2.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 3.8.2.3.3

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 3.8.2.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Этап 3.8.2.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Этап 3.8.2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 3.8.2.3.6

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Этап 3.8.2.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Этап 3.8.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

Этап 3.8.2.3.9

Вычтем $3$ из $3$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

Этап 3.8.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.10.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

Этап 3.8.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

Этап 3.8.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

Этап 3.8.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

Этап 3.8.2.3.12

Добавим $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ и $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

Этап 3.8.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

Этап 3.8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

Этап 3.8.4.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$\ln (\frac{1}{1})$

Этап 3.8.4.3

Разделим $1$ на $1$ .

$\ln (1)$

Этап 3.9

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$0$

Этап 4