Математический анализ Примеры

$x = y^{2} - 8 y$ , $x = 5 y - y^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$y^{2} - 8 y = 5 y - y^{2}$

Этап 1.2

Решим $y^{2} - 8 y = 5 y - y^{2}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $5 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 8 y - 5 y = - y^{2}$

Этап 1.2.1.2

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 8 y - 5 y + y^{2} = 0$

Этап 1.2.1.3

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$2 y^{2} - 8 y - 5 y = 0$

Этап 1.2.1.4

Вычтем $5 y$ из $- 8 y$ .

$2 y^{2} - 13 y = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{2} - 13 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{2}$ .

$y (2 y) - 13 y = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 13 y$ .

$y (2 y) + y \cdot - 13 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 y) + y \cdot - 13$ .

$y (2 y - 13) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$2 y - 13 = 0 + x = 5 y - y^{2}$

Этап 1.2.4

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $2 y - 13$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $2 y - 13$ к $0$ .

$2 y - 13 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $2 y - 13 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 13$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $2 y = 13$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 y = 13$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{13}{2}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{13}{2}$

Этап 1.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{13}{2}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $y (2 y - 13) = 0$ верно.

$y = 0, \frac{13}{2}$

Этап 1.3

Вычислим $x$ , когда $y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $y$ .

$x = 5 (0) - {(0)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $y$ в $x = 5 (0) - {(0)}^{2}$ и решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$x = 5 (0) - 0^{2}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $5 (0) - 0^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$x = 0 - 0^{2}$

Этап 1.3.2.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0 - 0$

Этап 1.3.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x = 0 + 0$

Этап 1.3.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $x$ , когда $y = \frac{13}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $\frac{13}{2}$ вместо $y$ .

$x = 5 (\frac{13}{2}) - {(\frac{13}{2})}^{2}$

Этап 1.4.2

Упростим $5 (\frac{13}{2}) - {(\frac{13}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $5 (\frac{13}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.1

Объединим $5$ и $\frac{13}{2}$ .

$x = \frac{5 \cdot 13}{2} - {(\frac{13}{2})}^{2}$

Этап 1.4.2.1.1.2

Умножим $5$ на $13$ .

$x = \frac{65}{2} - {(\frac{13}{2})}^{2}$

Этап 1.4.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{13}{2}$ .

$x = \frac{65}{2} - \frac{13^{2}}{2^{2}}$

Этап 1.4.2.1.3

Возведем $13$ в степень $2$ .

$x = \frac{65}{2} - \frac{169}{2^{2}}$

Этап 1.4.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{65}{2} - \frac{169}{4}$

Этап 1.4.2.2

Чтобы записать $\frac{65}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{65}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{169}{4}$

Этап 1.4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Умножим $\frac{65}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{65 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{169}{4}$

Этап 1.4.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{65 \cdot 2}{4} - \frac{169}{4}$

Этап 1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{65 \cdot 2 - 169}{4}$

Этап 1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.5.1

Умножим $65$ на $2$ .

$x = \frac{130 - 169}{4}$

Этап 1.4.2.5.2

Вычтем $169$ из $130$ .

$x = \frac{- 39}{4}$

Этап 1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{39}{4}$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- \frac{39}{4}, \frac{13}{2})$

$(0, 0)$

$(- \frac{39}{4}, \frac{13}{2})$

Этап 2

Изменим порядок $5 y$ и $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 5 y$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{13}{2}} - y^{2} + 5 y d y - \int_{0}^{\frac{13}{2}} y^{2} - 8 y d y$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $\frac{13}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{\frac{13}{2}} - y^{2} + 5 y - (y^{2} - 8 y) d y$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} + 5 y - y^{2} - (- 8 y)$

Этап 4.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$- y^{2} + 5 y - y^{2} + 8 y$

$\int_{0}^{\frac{13}{2}} - y^{2} + 5 y - y^{2} + 8 y d y$

Этап 4.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$- 2 y^{2} + 5 y + 8 y$

Этап 4.3.2

Добавим $5 y$ и $8 y$ .

$- 2 y^{2} + 13 y$

$\int_{0}^{\frac{13}{2}} - 2 y^{2} + 13 y d y$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{13}{2}} - 2 y^{2} d y + \int_{0}^{\frac{13}{2}} 13 y d y$

Этап 4.5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{0}^{\frac{13}{2}} y^{2} d y + \int_{0}^{\frac{13}{2}} 13 y d y$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{\frac{13}{2}}) + \int_{0}^{\frac{13}{2}} 13 y d y$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$- 2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\frac{13}{2}}) + \int_{0}^{\frac{13}{2}} 13 y d y$

Этап 4.8

Поскольку $13$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $13$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\frac{13}{2}}) + 13 \int_{0}^{\frac{13}{2}} y d y$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\frac{13}{2}}) + 13 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{\frac{13}{2}})$

Этап 4.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$- 2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\frac{13}{2}}) + 13 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{\frac{13}{2}})$

Этап 4.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $\frac{13}{2}$ и в $0$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 13 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{\frac{13}{2}})$

Этап 4.10.2.2

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $\frac{13}{2}$ и в $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} - 0) + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 0) + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.4

Добавим $\frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3}$ и $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 4.10.2.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 4.10.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.10.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.10.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 4.10.2.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Этап 4.10.2.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 (\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Этап 4.10.2.3.8

Добавим $\frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$ и $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{13}{2})}^{3}}{3} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{13}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{13^{3}}{2^{3}}}{3} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.1.2

Возведем $13$ в степень $3$ .

$- 2 \frac{\frac{2197}{2^{3}}}{3} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 2 \frac{\frac{2197}{8}}{3} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 2 (\frac{2197}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.3

Умножим $\frac{2197}{8} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.3.1

Умножим $\frac{2197}{8}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- 2 \frac{2197}{8 \cdot 3} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.3.2

Умножим $8$ на $3$ .

$- 2 (\frac{2197}{24}) + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{2197}{24} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$2 \cdot - 1 \frac{2197}{2 \cdot 12} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{2197}{2 \cdot 12} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{2197}{12} + 13 \frac{{(\frac{13}{2})}^{2}}{2}$

Этап 4.10.3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{13}{2}$ .

$- \frac{2197}{12} + 13 \frac{\frac{13^{2}}{2^{2}}}{2}$

Этап 4.10.3.1.5.2

Возведем $13$ в степень $2$ .

$- \frac{2197}{12} + 13 \frac{\frac{169}{2^{2}}}{2}$

Этап 4.10.3.1.5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{2197}{12} + 13 \frac{\frac{169}{4}}{2}$

Этап 4.10.3.1.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{2197}{12} + 13 (\frac{169}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 4.10.3.1.7

Умножим $\frac{169}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.7.1

Умножим $\frac{169}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2197}{12} + 13 \frac{169}{4 \cdot 2}$

Этап 4.10.3.1.7.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{2197}{12} + 13 (\frac{169}{8})$

Этап 4.10.3.1.8

Умножим $13 (\frac{169}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.8.1

Объединим $13$ и $\frac{169}{8}$ .

$- \frac{2197}{12} + \frac{13 \cdot 169}{8}$

Этап 4.10.3.1.8.2

Умножим $13$ на $169$ .

$- \frac{2197}{12} + \frac{2197}{8}$

Этап 4.10.3.2

Чтобы записать $- \frac{2197}{12}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2197}{12} \cdot \frac{2}{2} + \frac{2197}{8}$

Этап 4.10.3.3

Чтобы записать $\frac{2197}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2197}{12} \cdot \frac{2}{2} + \frac{2197}{8} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.10.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $24$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.4.1

Умножим $\frac{2197}{12}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2197 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{2197}{8} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.10.3.4.2

Умножим $12$ на $2$ .

$- \frac{2197 \cdot 2}{24} + \frac{2197}{8} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.10.3.4.3

Умножим $\frac{2197}{8}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2197 \cdot 2}{24} + \frac{2197 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Этап 4.10.3.4.4

Умножим $8$ на $3$ .

$- \frac{2197 \cdot 2}{24} + \frac{2197 \cdot 3}{24}$

Этап 4.10.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2197 \cdot 2 + 2197 \cdot 3}{24}$

Этап 4.10.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.6.1

Умножим $- 2197$ на $2$ .

$\frac{- 4394 + 2197 \cdot 3}{24}$

Этап 4.10.3.6.2

Умножим $2197$ на $3$ .

$\frac{- 4394 + 6591}{24}$

Этап 4.10.3.6.3

Добавим $- 4394$ и $6591$ .

$\frac{2197}{24}$

Этап 5