Математический анализ Примеры

$y = - 6 x - 8$ ; $y = 0$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$- 6 x - 8 = 0$

Этап 1.2

Решим $- 6 x - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$- 6 x = 8$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 6 x = 8$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 6 x = 8$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{8}{- 6}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{8}{- 6}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{- 6}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Сократим общий множитель $8$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x = \frac{2 (4)}{- 6}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{- 3}$

Этап 1.2.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 1.3

Подставим $- \frac{4}{3}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- \frac{4}{3}, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} 0 d x - \int_{- 1}^{2} - 6 x - 8 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{2} 0 - (- 6 x - 8) d x$

Этап 3.2

Вычтем $- 6 x - 8$ из $0$ .

$\int_{- 1}^{2} - (- 6 x - 8) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{2} - (- 6 x) + 8 d x$

Этап 3.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$6 x - - 8$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$6 x + 8$

$\int_{- 1}^{2} 6 x + 8 d x$

Этап 3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{2} 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Этап 3.6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Этап 3.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 8 x]_{- 1}^{2}$

Этап 3.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 1$ .

$6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 x]_{- 1}^{2}$

Этап 3.10.2

Найдем значение $8 x$ в $2$ и в $- 1$ .

$6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$6 (2 - \frac{1}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.5

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$6 \frac{4 - 1}{2} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.7.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$6 (\frac{3}{2}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.8

Объединим $6$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{2} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.9

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18}{2} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.10

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.10.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.11

Умножим $8$ на $2$ .

$9 + 16 - 8 \cdot - 1$

Этап 3.10.3.12

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$9 + 16 + 8$

Этап 3.10.3.13

Добавим $16$ и $8$ .

$9 + 24$

Этап 3.10.3.14

Добавим $9$ и $24$ .

$33$

Этап 4