Математический анализ Примеры

$e^{x} \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $\cos (x) + \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\cos (x) + \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\cos (x) + \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.4

Разделим дроби.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.5.2.6

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 2.5.2.7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Этап 2.5.2.8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 2.5.2.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 2.5.2.10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.10.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.11

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 2.5.2.12

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.12.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 2.5.2.12.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.5.2.13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.5.2.13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.5.2.13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.5.2.14

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.14.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 2.5.2.14.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.14.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.14.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.14.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.5.2.14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.14.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.5.2.14.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 2.5.2.14.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.5.2.15

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $e^{x} \sin (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{3 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.3

Объединим $e^{\frac{3 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{7 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 4.2.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4.2.2.3

Объединим $e^{\frac{7 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{11 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{11 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{11 π}{4})$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.3.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.3.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.2.4

Объединим $e^{\frac{11 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{15 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{15 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{15 π}{4})$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.4.2.2

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 4.4.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4.4.2.4

Объединим $e^{\frac{15 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{19 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{19 π}{4}$ вместо $x$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{19 π}{4})$

Этап 4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.5.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.5.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5.2.4

Объединим $e^{\frac{19 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.6

Перечислим все точки.

$(\frac{3 π}{4}, \frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{11 π}{4}, \frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{15 π}{4}, - \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{19 π}{4}, \frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$

Этап 5