Математический анализ Примеры

$\frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 4$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Вычтем $6 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Запишем $8$ как $- 1$ плюс $9$

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f' (x) = \frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f' (x) = \frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.8

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{(- (3 x) - 1 \cdot 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.10

Перепишем $- (3 x + 1)$ в виде $- 1 (3 x + 1)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(3 x + 1) (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{1}{3}$ вместо $x$ .

$\frac{3 (- \frac{1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$\frac{3 (\frac{- 1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Этап 4.1.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (\frac{- 1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Этап 4.1.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Этап 4.1.2.1.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$\frac{- 5}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{- 5}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Этап 4.1.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 5}{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Этап 4.1.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 5}{1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{- 5}{\frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Этап 4.1.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 5}{\frac{1}{3^{2}} + 1}$

Этап 4.1.2.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- 5}{\frac{1}{9} + 1}$

Этап 4.1.2.2.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- 5}{\frac{1}{9} + \frac{9}{9}}$

Этап 4.1.2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5}{\frac{1 + 9}{9}}$

Этап 4.1.2.2.8

Добавим $1$ и $9$ .

$\frac{- 5}{\frac{10}{9}}$

Этап 4.1.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 5 (\frac{9}{10})$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{9}{10}$

Этап 4.1.2.4.2

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$5 \cdot - 1 \frac{9}{5 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.4.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot - 1 \frac{9}{5 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.4.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{9}{2}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$\frac{3 (3) - 4}{{(3)}^{2} + 1}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 - 4}{3^{2} + 1}$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$\frac{5}{3^{2} + 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{5}{9 + 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{5}{10}$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (1)}{10}$

Этап 4.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{9}{2}), (3, \frac{1}{2})$

Этап 5