Математический анализ Примеры

$y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Этап 1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.1.3.7

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 1.1.3.8

Объединим $- 3$ и $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Этап 1.1.3.9

Умножим $5$ на $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 1.1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 1.1.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Этап 2.2

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$

Этап 2.3

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (u)}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Этап 2.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $3$ на $u$ .

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Этап 2.4.1.2

Избавимся от скобок.

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$

Этап 2.4.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2, 2 u^{3}, 1$

Этап 2.4.2.2

Since $2, 2 u^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $u^{3}$ .

Этап 2.4.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.4.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4.2.6

НОК $2, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.4.2.7

Множители $u^{3}$ — $u \cdot u \cdot u$ , то есть $u$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ встречается $3$ раз.

Этап 2.4.2.8

НОК $u^{3}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$u \cdot u \cdot u$

Этап 2.4.2.9

Упростим $u \cdot u \cdot u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.9.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Этап 2.4.2.9.2

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.9.2.1

Умножим $u^{2}$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.9.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Этап 2.4.2.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u^{2 + 1}$

Этап 2.4.2.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$u^{3}$

Этап 2.4.2.10

НОК $2, 2 u^{3}, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 u^{3}$

Этап 2.4.3

Каждый член в $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ умножим на $2 u^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим каждый член $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ на $2 u^{3}$ .

$\frac{3 u}{2} (2 u^{3}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 u \cdot u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.3

Умножим $u$ на $u^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.3.1

Перенесем $u^{3}$ .

$3 (u^{3} u) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.3.2

Умножим $u^{3}$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.3.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 (u^{3} u^{1}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 u^{3 + 1} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.3.3

Добавим $3$ и $1$ .

$3 u^{4} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2 u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{15}{2 u^{3}}$ в числитель.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$3 u^{4} - 15 = 0 (2 u^{3})$

Этап 2.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Умножим $0 (2 u^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$3 u^{4} - 15 = 0 u^{3}$

Этап 2.4.3.3.1.2

Умножим $0$ на $u^{3}$ .

$3 u^{4} - 15 = 0$

Этап 2.4.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$3 u^{4} = 15$

Этап 2.4.4.2

Разделим каждый член $3 u^{4} = 15$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Разделим каждый член $3 u^{4} = 15$ на $3$ .

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Этап 2.4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Этап 2.4.4.2.2.1.2

Разделим $u^{4}$ на $1$ .

$u^{4} = \frac{15}{3}$

Этап 2.4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.3.1

Разделим $15$ на $3$ .

$u^{4} = 5$

Этап 2.4.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt[4]{5}$

Этап 2.4.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt[4]{5}$

Этап 2.4.4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt[4]{5}$

Этап 2.4.4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Этап 2.5

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Этап 2.6

Решим относительно $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Этап 2.6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Этап 2.6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Этап 2.6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Этап 2.6.2.1.1.2

Упростим.

$x = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Этап 2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Перепишем ${\sqrt[4]{5}}^{2}$ в виде $\sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{5}$ в виде $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(5^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Этап 2.6.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Этап 2.6.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$x = 5^{\frac{2}{4}}$

Этап 2.6.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = 5^{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 2.6.2.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.6.2.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.6.2.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 5^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.6.2.2.1.5

Перепишем $5^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{5}$

Этап 2.7

Перечислим все решения.

$x = \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Этап 3.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Этап 3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 3.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} < 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 3.4.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 3.5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Этап 4

Вычислим $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\sqrt{5}$ вместо $x$ .

${(\sqrt{5})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(\sqrt{5})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 4.1.2

Избавимся от скобок.

${\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(\sqrt{5}, {\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}})$

Этап 5