Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 9) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.1.2

Умножим $3$ на $- 9$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.2

Вычтем $2 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 27 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 27 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Этап 2.1.6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 27)) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 27) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27)) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 27)) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.3.3

Поскольку $- 27$ является константой относительно $x$ , производная $- 27$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} - 27) (2 x)) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.5.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 27) x)) - x^{2} (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.6

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) ({(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) ({(x + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) ({(x + 3)}^{2} (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Перенесем $2$ влево от ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 \cdot ({(x + 3)}^{2} (x - 3)) \frac{d}{d x} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.8.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.8.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + 0) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.8.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) \cdot 1 + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.8.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 (x + 3) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 \cdot ({(x - 3)}^{2} (x + 3)) \frac{d}{d x} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.10.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.10.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.10.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + 0))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.10.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) \cdot 1)}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.10.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Применим правило умножения к ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 27) x) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) - x^{2} (x^{2} - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.1

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) (x + 3) {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.2

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x (x + 3) + 3 (x + 3)) {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) {(x - 3)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.4

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) ((x - 3) (x - 3)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.5

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.6.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.6.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.6.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 6 x + 9) (x^{2} - 6 x + 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.7

Развернем $(x^{2} + 6 x + 9) (x^{2} - 6 x + 9)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} (- 6 x) + x^{2} \cdot 9 + 6 x \cdot x^{2} + 6 x (- 6 x) + 6 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.8

Объединим противоположные члены в $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 6 x) + x^{2} \cdot 9 + 6 x \cdot x^{2} + 6 x (- 6 x) + 6 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + 9 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.8.1

Изменим порядок множителей в членах $x^{2} (- 6 x)$ и $6 x \cdot x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} - 6 x^{2} x + x^{2} \cdot 9 + 6 x^{2} x + 6 x (- 6 x) + 6 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.8.2

Добавим $- 6 x^{2} x$ и $6 x^{2} x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 0 + 6 x (- 6 x) + 6 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.8.3

Добавим $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 6 x (- 6 x) + 6 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.8.4

Изменим порядок множителей в членах $6 x \cdot 9$ и $9 (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 6 x (- 6 x) + 6 \cdot (9 x) + 9 x^{2} - 6 \cdot (9 x) + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.8.5

Вычтем $6 \cdot 9 x$ из $6 \cdot 9 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 6 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 0 + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.8.6

Добавим $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 6 x (- 6 x) + 9 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 6 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.9.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{(x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 6 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.9.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 6 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.9.2

Перенесем $9$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 6 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.9.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 9 x^{2} + 6 \cdot (- 6 x \cdot x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.9.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.9.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 9 x^{2} + 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.9.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 9 x^{2} + 6 \cdot (- 6 x^{2}) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.9.5

Умножим $6$ на $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 9 x^{2} - 36 x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.9.6

Умножим $9$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 9 x^{2} - 36 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.10

Вычтем $36 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 27 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.11

Добавим $- 27 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 18 x^{2} + 81) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.12.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.12.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 18 x^{2} + 81) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.12.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.12.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.2.11.5.12.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 18 x^{2} + 81) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.12.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 18 x^{2} + 81) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 27 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.12.2

Умножим $2$ на $- 27$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 18 x^{2} + 81) (2 x^{3} + 2 x^{3} - 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.13

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 18 x^{2} + 81) (4 x^{3} - 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.14

Развернем $(x^{4} - 18 x^{2} + 81) (4 x^{3} - 54 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (4 x^{3}) + x^{4} (- 54 x) - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.15.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + x^{4} (- 54 x) - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.15.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + x^{4} (- 54 x) - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + x^{4} (- 54 x) - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} + x^{4} (- 54 x) - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{4} x - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.15.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 (x \cdot x^{4}) - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.4.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.15.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.2.11.5.15.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{1 + 4} - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.4.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 18 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 18 \cdot (4 x^{2} x^{3}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.15.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 18 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 18 \cdot (4 x^{3 + 2}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.6.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 18 \cdot (4 x^{5}) - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.7

Умножим $- 18$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 72 x^{5} - 18 x^{2} (- 54 x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 72 x^{5} - 18 \cdot (- 54 x^{2} x) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.9

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.15.9.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 72 x^{5} - 18 \cdot (- 54 (x \cdot x^{2})) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.9.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.15.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.2.11.5.15.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 72 x^{5} - 18 \cdot (- 54 x^{1 + 2}) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.9.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 72 x^{5} - 18 \cdot (- 54 x^{3}) + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.10

Умножим $- 18$ на $- 54$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 72 x^{5} + 972 x^{3} + 81 (4 x^{3}) + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.11

Умножим $4$ на $81$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 72 x^{5} + 972 x^{3} + 324 x^{3} + 81 (- 54 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.15.12

Умножим $- 54$ на $81$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 54 x^{5} - 72 x^{5} + 972 x^{3} + 324 x^{3} - 4374 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.16

Вычтем $72 x^{5}$ из $- 54 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 972 x^{3} + 324 x^{3} - 4374 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.17

Добавим $972 x^{3}$ и $324 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.18

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.18.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.18.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.18.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{2 + 2} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.18.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} - x^{2} \cdot - 27) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.18.2

Умножим $- 27$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.1

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 ((x + 3) (x + 3)) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.2

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 (x^{2} + 6 x + 9) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) ((2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot 9) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) ((2 x^{2} + 12 x + 2 \cdot 9) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) ((2 x^{2} + 12 x + 18) (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.6

Развернем $(2 x^{2} + 12 x + 18) (x - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 3 + 18 x + 18 \cdot - 3 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.7.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 3 + 18 x + 18 \cdot - 3 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.2.11.5.19.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 3 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 3 + 18 x + 18 \cdot - 3 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.7.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 3 + 18 x + 18 \cdot - 3 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.7.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 3 + 18 x + 18 \cdot - 3 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.7.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.7.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 6 x^{2} + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot - 3 + 18 x + 18 \cdot - 3 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.7.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{2} + 12 x \cdot - 3 + 18 x + 18 \cdot - 3 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.7.4

Умножим $- 3$ на $12$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{2} - 36 x + 18 x + 18 \cdot - 3 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.7.5

Умножим $18$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{2} - 36 x + 18 x - 54 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.8

Добавим $- 6 x^{2}$ и $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 36 x + 18 x - 54 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.9

Добавим $- 36 x$ и $18 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.10

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 ((x - 3) (x - 3)) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.11

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.12.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.12.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.12.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.12.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 (x^{2} - 6 x + 9) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.13

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + (2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 9) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.14.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + (2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 9) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.14.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + (2 x^{2} - 12 x + 18) (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.15

Развернем $(2 x^{2} - 12 x + 18) (x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 3 - 12 x \cdot x - 12 x \cdot 3 + 18 x + 18 \cdot 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.16.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.16.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 3 - 12 x \cdot x - 12 x \cdot 3 + 18 x + 18 \cdot 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.16.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.16.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.2.11.5.19.16.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 3 - 12 x \cdot x - 12 x \cdot 3 + 18 x + 18 \cdot 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.16.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 3 - 12 x \cdot x - 12 x \cdot 3 + 18 x + 18 \cdot 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.16.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} + 6 x^{2} - 12 x \cdot x - 12 x \cdot 3 + 18 x + 18 \cdot 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.16.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.19.16.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} + 6 x^{2} - 12 (x \cdot x) - 12 x \cdot 3 + 18 x + 18 \cdot 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.16.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} + 6 x^{2} - 12 x^{2} - 12 x \cdot 3 + 18 x + 18 \cdot 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.16.4

Умножим $3$ на $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} + 6 x^{2} - 12 x^{2} - 36 x + 18 x + 18 \cdot 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.16.5

Умножим $18$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} + 6 x^{2} - 12 x^{2} - 36 x + 18 x + 54)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.17

Вычтем $12 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 18 x + 54)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.19.18

Добавим $- 36 x$ и $18 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 54)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.20

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 54 + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.20.1

Вычтем $6 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 18 x - 54 + 2 x^{3} + 0 - 18 x + 54)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.20.2

Добавим $2 x^{3} - 18 x - 54 + 2 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 18 x - 54 + 2 x^{3} - 18 x + 54)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.20.3

Добавим $- 54$ и $54$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 18 x + 2 x^{3} - 18 x + 0)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.20.4

Добавим $2 x^{3} - 18 x + 2 x^{3} - 18 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (2 x^{3} - 18 x + 2 x^{3} - 18 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.21

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (4 x^{3} - 18 x - 18 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.22

Вычтем $18 x$ из $- 18 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + (- x^{4} + 27 x^{2}) (4 x^{3} - 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.23

Развернем $(- x^{4} + 27 x^{2}) (4 x^{3} - 36 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - x^{4} (4 x^{3} - 36 x) + 27 x^{2} (4 x^{3} - 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 36 x) + 27 x^{2} (4 x^{3} - 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.23.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 36 x) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.24.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.24.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 1 \cdot (4 x^{4} x^{3}) - x^{4} (- 36 x) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.24.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 1 \cdot (4 (x^{3} x^{4})) - x^{4} (- 36 x) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 1 \cdot (4 x^{3 + 4}) - x^{4} (- 36 x) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 1 \cdot (4 x^{7}) - x^{4} (- 36 x) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} - x^{4} (- 36 x) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 36 x^{4} x) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.5

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.24.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 36 (x \cdot x^{4})) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.24.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 36 (x \cdot x^{4})) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 36 x^{1 + 4}) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.5.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 36 x^{5}) + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.6

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 27 x^{2} (4 x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 27 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.24.1.8.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 27 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 27 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.8.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 27 \cdot (4 x^{5}) + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.9

Умножим $27$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 108 x^{5} + 27 x^{2} (- 36 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 108 x^{5} + 27 \cdot (- 36 x^{2} x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.24.1.11.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 108 x^{5} + 27 \cdot (- 36 (x \cdot x^{2}))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.24.1.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 108 x^{5} + 27 \cdot (- 36 (x \cdot x^{2}))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 108 x^{5} + 27 \cdot (- 36 x^{1 + 2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 108 x^{5} + 27 \cdot (- 36 x^{3})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.1.12

Умножим $27$ на $- 36$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 36 x^{5} + 108 x^{5} - 972 x^{3}}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.24.2

Добавим $36 x^{5}$ и $108 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 4 x^{7} + 144 x^{5} - 972 x^{3}}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.25

Вычтем $4 x^{7}$ из $4 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + 0 + 144 x^{5} - 972 x^{3}}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.26

Добавим $- 126 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 126 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x + 144 x^{5} - 972 x^{3}}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.27

Добавим $- 126 x^{5}$ и $144 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x^{5} + 1296 x^{3} - 4374 x - 972 x^{3}}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.28

Вычтем $972 x^{3}$ из $1296 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x^{5} + 324 x^{3} - 4374 x}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29

Перепишем $18 x^{5} + 324 x^{3} - 4374 x$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.29.1

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x^{5} + 324 x^{3} - 4374 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.29.1.1

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x^{4}) + 324 x^{3} - 4374 x}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.1.2

Вынесем множитель $18 x$ из $324 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x^{4}) + 18 x (18 x^{2}) - 4374 x}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.1.3

Вынесем множитель $18 x$ из $- 4374 x$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x^{4}) + 18 x (18 x^{2}) + 18 x (- 243)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.1.4

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x (x^{4}) + 18 x (18 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 18 x (- 243)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.1.5

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 18 x (- 243)$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.3

Пусть $u_{3} = x^{2}$ . Подставим $u_{3}$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{18 x ({u_{3}}^{2} + 18 u_{3} - 243)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.4

Разложим ${u_{3}}^{2} + 18 u_{3} - 243$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.5.29.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 243$ , а сумма — $18$ .

$- 9, 27$

Этап 2.2.11.5.29.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{18 x ((u_{3} - 9) (u_{3} + 27))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.5

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.5.29.7

$f'' (x) = \frac{18 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{2 \cdot 2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.11.6.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.11.6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{18 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Этап 2.2.11.6.3

Сократим общий множитель $x + 3$ и ${(x + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.3.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $18 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((18 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Этап 2.2.11.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.3.2.1

Вынесем множитель $x + 3$ из ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((18 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Этап 2.2.11.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((18 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Этап 2.2.11.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(18 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Этап 2.2.11.6.4

Сократим общий множитель $x - 3$ и ${(x - 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.4.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $18 x (x - 3) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (18 x (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Этап 2.2.11.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.4.2.1

Вынесем множитель $x - 3$ из ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (18 x (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Этап 2.2.11.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (18 x (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Этап 2.2.11.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$18 x (x^{2} + 27) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 27 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.3

Приравняем $x^{2} + 27$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x^{2} + 27$ к $0$ .

$x^{2} + 27 = 0$

Этап 3.3.3.2

Решим $x^{2} + 27 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 27$

Этап 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 27}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Этап 3.3.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Этап 3.3.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Этап 3.3.3.2.3.4

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.4.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Этап 3.3.3.2.3.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Этап 3.3.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Этап 3.3.3.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $18 x (x^{2} + 27) = 0$ верно.

$x = 0, 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{{(0)}^{2} - 9}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 9}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 9}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 9}$

Этап 4.1.2.3

Разделим $0$ на $- 9$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{18 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 27)}{{((- 0.1) + 3)}^{3} {((- 0.1) - 3)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $18$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.8 ({(- 0.1)}^{2} + 27)}{{(- 0.1 + 3)}^{3} {(- 0.1 - 3)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1.8$ на ${(- 0.1)}^{2} + 27$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 48.618}{{(- 0.1 + 3)}^{3} {(- 0.1 - 3)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 0.1$ и $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 48.618}{{2.9}^{3} {(- 0.1 - 3)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $3$ из $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 48.618}{{2.9}^{3} {(- 3.1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $2.9$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 48.618}{24.389 {(- 3.1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 3.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 48.618}{24.389 \cdot - 29.791}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $24.389$ на $- 29.791$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 48.618}{- 726.572699}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $- 48.618$ на $- 726.572699$ .

$f'' (- 0.1) = 0.06691415$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $0.06691415$ .

$0.06691415$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.06691415$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{18 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 27)}{{((0.1) + 3)}^{3} {((0.1) - 3)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $18$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.8 ({0.1}^{2} + 27)}{{(0.1 + 3)}^{3} {(0.1 - 3)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $1.8$ на ${0.1}^{2} + 27$ .

$f'' (0.1) = \frac{48.618}{{(0.1 + 3)}^{3} {(0.1 - 3)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $0.1$ и $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{48.618}{{3.1}^{3} {(0.1 - 3)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $3$ из $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{48.618}{{3.1}^{3} {(- 2.9)}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $3.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{48.618}{29.791 {(- 2.9)}^{3}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $- 2.9$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{48.618}{29.791 \cdot - 24.389}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $29.791$ на $- 24.389$ .

$f'' (0.1) = \frac{48.618}{- 726.572699}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $48.618$ на $- 726.572699$ .

$f'' (0.1) = - 0.06691415$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 0.06691415$ .

$- 0.06691415$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.06691415$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 9