Математический анализ Примеры

$y = 2 x - \ln (2 x)$

Этап 1

Запишем $y = 2 x - \ln (2 x)$ в виде функции.

$f (x) = 2 x - \ln (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 x - \ln (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 2.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Этап 2.1.3.6

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $2$ .

$2 - \frac{2}{2 x}$

Этап 2.1.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Сократим общий множитель.

$2 - \frac{2}{2 x}$

Этап 2.1.3.7.2

Перепишем это выражение.

$2 - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 2$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба