Математический анализ Примеры

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (y)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ , где $f (y) = - y^{2} + 14 y$ и $g (y) = y^{2}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ в виде $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ .

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.2

Развернем $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $y^{4}$ на $1$ .

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.6

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.6.1

Перенесем $y$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.6.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.6.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.7

Умножим $- 1$ на $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.9

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.9.1

Перенесем $y^{2}$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.9.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.9.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.10

Умножим $14$ на $- 1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.12

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.12.1

Перенесем $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.12.2

Умножим $y$ на $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.1.13

Умножим $14$ на $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.3.2

Вычтем $14 y^{3}$ из $- 14 y^{3}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $y^{4}$ из $y^{4}$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

Этап 2.2.2

Добавим $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ и $0$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Этап 4

Поскольку $- 28$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 28$ из-под знака интеграла.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Этап 7

Поскольку $196$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $196$ из-под знака интеграла.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{y^{4}}{4}$ в $7$ и в $0$ .

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $7$ и в $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $7$ в степень $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.5

Добавим $\frac{2401}{4}$ и $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.6

Объединим $- 28$ и $\frac{2401}{4}$ .

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.7

Умножим $- 28$ на $2401$ .

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8

Сократим общий множитель $- 67228$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 67228$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8.2.4

Разделим $- 16807$ на $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.9

Возведем $7$ в степень $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 9.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 9.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 9.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

Этап 9.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

Этап 9.2.3.13

Добавим $\frac{343}{3}$ и $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

Этап 9.2.3.14

Объединим $196$ и $\frac{343}{3}$ .

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

Этап 9.2.3.15

Умножим $196$ на $343$ .

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

Этап 9.2.3.16

Чтобы записать $- 16807$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

Этап 9.2.3.17

Объединим $- 16807$ и $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

Этап 9.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

Этап 9.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.19.1

Умножим $- 16807$ на $3$ .

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

Этап 9.2.3.19.2

Добавим $- 50421$ и $67228$ .

$V = π (\frac{16807}{3})$

Этап 9.2.3.20

Объединим $π$ и $\frac{16807}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

Этап 9.2.3.21

Перенесем $16807$ влево от $π$ .

$V = \frac{16807 π}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{16807 π}{3}$

Десятичная форма:

$V = 17600.24924296 \dots$

Этап 11