Математический анализ Примеры

$y = t \ln^{2} (2 t)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = t \ln^{2} (2 t)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (2 t))$

Этап 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \ln^{2} (2 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (2 t)] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \ln (2 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (2 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (2 t)$ .

$t (2 \ln (2 t) \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 t$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 t$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{1}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $\frac{1}{2 t}$ и $2$ .

$t (\frac{2}{2 t} \ln (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $\frac{2}{2 t}$ и $\ln (2 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (2 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$t (\frac{2 \ln (2 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$t (\frac{\ln (2 t)}{t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.3

Объединим $\frac{\ln (2 t)}{t}$ и $t$ .

$\frac{\ln (2 t) t}{t} \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.4

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (2 t) t}{t} \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.4.2

Разделим $\ln (2 t)$ на $1$ .

$\ln (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\ln (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\ln (2 t) (2 \cdot 1) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (2 t) \cdot 2 + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $\ln (2 t)$ .

$2 \cdot \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t) \cdot 1$

Этап 4.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.1

Умножим $\ln^{2} (2 t)$ на $1$ .

$2 \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t)$

Этап 4.4.7.2

Изменим порядок членов.

$\ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$